11の倍数判定法

数学A 整数の性質

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は11の倍数判定法の証明について学習していこう。

11の倍数判定法

\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数は末位から奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差が\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数になる

\(\small{ \ n=10^5\cdot a_1+10^4\cdot a_2+10^3\cdot a_3+10^2\cdot a_4+10\cdot a_5+a_6 \ }\)

が\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数のとき、\(\small{(a_2+a_4+a_6)-(a_1+a_3+a_5) \ }\)が\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数

①因数分解を利用した証明
\(\small{ \ n \ }\)が奇数のとき、

\(\small{ \ x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-\cdots+y^{n-1}) \ }\)

\(\small{ \ n \ }\)が偶数のとき、

\(\small{ \ x^n-y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-\cdots-y^{n-1}) \ }\)

になるから
\(\small{ \ n \ }\)が奇数のとき、

\(\small{ \ 10^n+1=(10+1)(10^{n-1}-10^{n-2}+10^{n-3}-\cdots+1) \ }\)

\(\small{ \ \therefore 10^n=11l-1 \ }\)
\(\small{ \ n \ }\)が偶数のとき、

\(\small{ \ 10^n-1=(10+1)(10^{n-1}-10^{n-2}+10^{n-3}y^2-\cdots-1) \ }\)

\(\small{ \ \therefore 10^n=11k+1 \ }\)

\(\small{\begin{eqnarray}
\ n&=&10^5\cdot a_1+10^4\cdot a_2+10^3\cdot a_3+10^2\cdot a_4+10\cdot a_5+a_6\\
&=&(11l_1-1)a_1+(11k_1+1)a_2+(11l_2-1)a_3+(11k_2+1)a_4+(11l_3-1)a_5+a_6\\
&=&11(l_1a_1+lk_1a_2+l_2a_3+k_2a_4+l_3a_5)+(a_2+a_4+a_6)-(a_1+a_3+a_5)
\end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ (a_2+a_4+a_6)-(a_1+a_3+a_5) \ }\)が\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数のとき\(\small{ \ n \ }\)は\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数になる

②合同式を利用した証明
\(\small{ \ 10 \equiv -1 \pmod{11} \ }\)より
\(\small{ \ 10^5 \equiv (-1)^5 \equiv -1 \pmod{11} \ }\)より
\(\small{ \ 10^5\cdot a_1 \equiv -a_1 \pmod{11}\ }\)
\(\small{ \ 10^4 \equiv (-1)^4 \equiv 1 \pmod{11} \ }\)より
\(\small{ \ 10^4\cdot a_2 \equiv a_2 \pmod{11} \ }\)
同様に
\(\small{ \ 10^3\cdot a_3 \equiv -a_3 \pmod{11} \ }\)
\(\small{ \ 10^2\cdot a_4 \equiv -a_4 \pmod{11} \ }\)
\(\small{ \ 10^1\cdot a_5 \equiv -a_5 \pmod{11} \ }\)

\(\small{ \ n=10^5\cdot a_1+10^4\cdot a_2+10^3\cdot a_3+10^2\cdot a_4+10\cdot a_5+a_6 \ }\)より

\(\small{ \ n \equiv -a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+a_6 \pmod{11} \ }\)となり
\(\small{ \ -a_1+a_2-a_3+a_4-a_5+a_6 \ }\)が\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数のとき\(\small{ \ n \ }\)は\(\small{ \ 11 \ }\)の倍数である。

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