2つの直線の位置関係

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は2つの直線の位置関係について学習していこう。

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平行か?平行でないか?

2つの直線は平行なときは、交点がないけど、平行じゃなかったら、かならず一点で交わる。また、2直線が完全に重なるとき、一致すると言って、交点の数は無数にあることになるから気をつけよう。

2つ直線の位置関係

\(\small{ \ y=ax+b \ }\)と\(\small{ \ y=mx+n \ }\)の位置関係
(1)平行
  \(\small{ \ a=m \ }\) かつ\(\small{ \ b \neq n \ }\)
(2)一致
  \(\small{ \ a=m \ }\) かつ\(\small{ \ b=n \ }\)
(3)垂直に交わる
  \(\small{ \ a\cdot m=-1 \ }\)
(4)一点で交わる
  \(\small{ \ a\neq m \ }\)

直線の方程式が\(\small{ \ ax+by+c=0 \ }\)と\(\small{ \ px+qy+r=0 \ }\)のとき、平行は\(\small{ \ aq-pb=0 \ }\)、垂直は\(\small{ \ ap+bq=0 \ }\)を満たす。でも実際図を書くことを考えたら\(\small{ \ ax+by+c=0 \ }\)を\(\small{ \ y=mx+n \ }\)の形に変形して考えた方が解きやすい。ただし\(\small{ \ ax+by+c=0 \ }\)を\(\small{ \ y=mx+n \ }\)に変形するとき、式を\(\small{ \ b \ }\)で割るから、\(\small{ \ b \ }\)が文字だと場合わけ(\(\small{ \ b=0 \ }\)と\(\small{ \ b \neq 0 \ }\))が必要になるから注意しよう。

2つの直線の交点の求め方

これはもう中学生ときに教わってるよね?2つの直線の式を連立方程式として解けば交点の座標が求まるから、計算ミスしないように座標を求めよう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ x+ay=0 \ }\)、\(\small{ \ bx+y=2 \ }\)、\(\small{ \ x+y=3 \ }\)で表される\(\small{ \ 3 \ }\)直線がある。
次の条件を満たすとき\(\small{ \ a、b \ }\)に関する条件をそれぞれ求めよ。
(1)\(\small{ \ 3 \ }\)直線が\(\small{ \ 3 \ }\)点で交わる
(2)\(\small{ \ 3 \ }\)直線が\(\small{ \ 2 \ }\)点で交わる
(3)\(\small{ \ 3 \ }\)直線が\(\small{ \ 1 \ }\)点で交わる
(4)\(\small{ \ 3 \ }\)直線は共有点を持たない。

\(\small{ \ x+ay=0\cdots① \ }\)、\(\small{ \ bx+y=2\cdots② \ }\)、\(\small{ \ x+y=3\cdots③ \ }\)とする。
\(\small{ \ 3 \ }\)点で交わるのは、どの直線も平行でなく、\(\small{ \ 1 \ }\)点で交わらなければよいので
\(\small{ \ ①③ \ }\)が平行だと\(\small{ \ a=1 \ }\)
\(\small{ \ ①② \ }\)が平行だと\(\small{ \ ab=1 \ }\)
\(\small{ \ ②③ \ }\)が平行だと\(\small{ \ b=1 \ }\)
\(\small{ \ ②③ \ }\)の交点の座標は\(\small{ \ x+y=3、 bx+y=2 \ }\)を連立して
\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{1}{1-b} \ }\)
\(\small{ \ y=\displaystyle \frac{2-3b}{1-b} \ }\)
(交点を持つとき\(\small{ \ b\neq1 \ }\))
これが\(\small{ \ ① \ }\)を通るとき\(\small{ \ 3 \ }\)直線は\(\small{ \ 1 \ }\)点で交わるから
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{1-b}+a\cdot\displaystyle \frac{2-3b}{1-b}=0 \ }\)
\(\small{ \ 3ab-2a=1 \ }\)
(1)\(\small{ \ 3 \ }\)点で交わるのは\(\small{ \ a\neq1、b\neq1、ab\neq1、3ab-2a\neq1 \ }\)
(2)\(\small{ \ 2 \ }\)点で交わるのは\(\small{ \ a\neq1、b=1 \ }\)または\(\small{ \  a\neq1、ab=1 \ }\)または\(\small{ \  a=1、b\neq1 \ }\)
(3)\(\small{ \ 1 \ }\)点で交わるのは\(\small{ \ a\neq1、b\neq1、 ab\neq1、3ab-2a=1 \ }\)
(4)共有点を持たないのは\(\small{ \  a=1、b=1 \ }\)

point
3つの直線が1点で交わるのを求めるには、まず2直線の交点を求め、その点がもう1本の直線を通ればよいので、交点の座標を直線の方程式に代入して成り立てば1点で交わることになる。

Point

①複数の直線は傾きに注意しよう
②交点の座標は連立方程式を解こう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ xy \ }\)平面上に\(\small{ \ (5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0 \ }\)がある。ただし\(\small{ \ k \ }\)は実数とする。
(1)\(\small{ \ k=1 \ }\)と\(\small{ \ k=2 \ }\)のときの直線の方程式をそれぞれ求め、さらにこの\(\small{ \ 2 \ }\)直線の交点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)の座標を求めよ。
(2)\(\small{ \ k=0 \ }\)のときの直線に垂直で、点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)を通る直線の方程式を求めよ。

(1)\(\small{ \ k=1 \ }\)のとき\(\small{ \ 8x-8y=0 \quad \therefore \ y=x \ }\)
\(\small{ \ k=2 \ }\)のとき\(\small{ \ 13x-11y-10=0 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y=x\\
13x-11y-10=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ (x、y)=(5、5) \ }\)
(2)\(\small{ \ k=0 \ }\)のとき\(\small{ \ 3x-5y+10=0 \ }\)
よって求める直線の方程式は
\(\small{ \ y=-\displaystyle \frac{5}{3}(x-5)+5 \ }\)
\(\small{ \ \therefore5x+3y-40=0 \ }\)

point
与えられた直線の式を

\(\small{ \ k(5x-3y-10)+(3x-5y+10)=0 \ }\)

と変形すると、この直線は\(\small{ \ 5x-3y-10=0 \ }\)かつ\(\small{ \ 3x-5y+10=0 \ }\)を満たす\(\small{ \ (5、5) \ }\)を通ることがわかる。
\(\small{ \ k \ }\)についての恒等式として\(\small{ \ (x、y)=(5、5) \ }\)を求めたんだ。

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  数学II, 図形と方程式

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