図形と方程式

2つの直線の交点を通る直線の方程式

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は\(\small{ \ 2 \ }\)つの直線の交点を通る直線の方程式について学習していこう。

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直線の決定条件

直線はある\(\small{ \ 2 \ }\)点を結ぶことによって作成される図形だよね。つまり直線の方程式を求めるためには、直線上の\(\small{ \ 2 \ }\)点が与えられていると求めることができるってことになる。

今回学習するのは\(\small{ \ 2 \ }\)つの直線の交点とその点以外のもう\(\small{ \ 1 \ }\)点を通る直線の方程式の求め方なんだけど、\(\small{ \ 2 \ }\)つの直線の交点を求めてもいいけど、交点を求めずに\(\small{ \ 1 \ }\)つの式を\(\small{ \ k \ }\)倍して加えて方程式を導こう。

2つの直線の交点を通る直線の方程式

\(\small{ax+by+c=0 \ }\)と\(\small{ \ px+qy+r=0 \ }\)の交点を通る直線
  \(\small{ax+by+c+k(px+qy+r)=0}\)

\(\small{ax+by+c=0 \ }\)と\(\small{ \ px+qy+r=0 \ }\)の交点を通る直線は、一つの式を\(\small{ \ k \ }\)倍して加えよう。

片方の式を\(\small{ \ k \ }\)倍して加える

\(\small{ \ 2 \ }\)つの直線のうち、どちらかの式を\(\small{ \ k \ }\)倍して加えよう。ただし、\(\small{ \ y=mx+n \ }\)の形じゃなく\(\small{ \ ax+by+c=0 \ }\)の形に変形して\(\small{ \ k \ }\)倍して加えるようにしよう。加えた式が\(\small{ \ 2 \ }\)つの直線の交点を通る直線になるんだ。

加えた方程式\(\small{ \ ax+by+c+k(px+qy+r)=0 \ }\)は\(\small{ \ x、y \ }\)ともに一次式だから直線の方程式って言える

しかも\(\small{ \ 2 \ }\)つの直線の交点は\(\small{ \ ax+by+c=0 \ }\)も\(\small{ \ px+qy+r=0 \ }\)も満たす。
だから\(\small{ \ ax+by+c+k(px+qy+r)=0 \ }\)も満たすよね。

つまり\(\small{ \ ax+by+c+k(px+qy+r)=0 \ }\)は\(\small{ \ 2 \ }\)つの直線の交点を通る直線って言えるんだ。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ y=2x+1 \ }\)と\(\small{ \ y=-3x+4 \ }\)の交点と\(\small{ \ (3,3) \ }\)を通る直線の方程式を求めよ。

\(\small{ \ y=2x+1 \ }\)と\(\small{ \ y=-3x+4 \ }\)の交点を通る直線の方程式は、
\(\small{ \ 2x-y+1+k(3x+y-4)=0 \ }\)とおける。
これが\(\small{ \ (3,3) \ }\)を通るので、代入すると
\(\small{2\cdot3-3+1+k(3\cdot3+3-4)}\)=0
\(\small{4-8k=0}\)
\(\small{\therefore \quad k=-\displaystyle \frac{1}{2}}\)
これを式に代入して\(\small{ \ 2x-y+1-\displaystyle \frac{1}{2}(3x+y-4)=0}\)
整理して\(\small{ \ x-3y+6=0 \ }\)となる。

point
中学生でも解ける問題だけど、連立して交点求めて、さらに\(\small{ \ 2 \ }\)点を通る直線の方程式を求めてってやるよりも断然早いよね。この方法は\(\small{ \ 2 \ }\)つの直線の交点に限らず、\(\small{ \ f(x,y)+kg(x,y)=0 \ }\)として円と直線の交点を通る図形とかにも使えるから覚えておこう。

Point 2つの直線の交点を通る直線の方程式

①\(\small{ \ 2 \ }\)つの直線の交点を通る直線は片方の式を\(\small{ \ k \ }\)倍して加えよう
②\(\small{ \ k \ }\)を定める場合は他の\(\small{ \ 1 \ }\)点を代入して定めよう

次は入試レベルの問題にチャレンジ!
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問題解答

直線\(\small{ \ l:(x-2y+3)+k(x-y-1)=0 \ }\)と点\(\small{ \ \mathrm{P}(1、3)、\mathrm{Q}(5、1) \ }\)がある。
以下の問いに答えよ。
(1)\(\small{ \ k \ }\)にどのような値を与えても直線\(\small{ \ l \ }\)が通る定点を求めよ。
(2)線分\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)と直線\(\small{ \ l \ }\)が交わるような\(\small{ \ k \ }\)の値の範囲を求めよ。
(3)線分\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)の点で\(\small{ \ l \ }\)と交点となりえない点の座標を求めよ。

(1)任意の\(\small{ \ k \ }\)の値に対して\(\small{ \ x-2y+3+k(x-y-1)=0 \ }\)を満たす\(\small{ \ (x、y) \ }\)は\(\small{ \ x-2y+3+k(x-y-1)=0 \ }\)を\(\small{ \ k \ }\)についての恒等式と考えると
\(\small{ \ x-2y+3=0 \ }\)かつ\(\small{ \ x-y-1=0 \ }\)
これを解いて\(\small{ \ (x、y)=(5、4) \ }\)

2直線の交点を通る直線の方程式-01

(2)(i)\(\small{ \ k\neq -2 \ }\)のとき直線\(\small{ \ l \ }\)は\(\small{ \ (5、4) \ }\)を通り、傾き\(\small{ \ \displaystyle \frac{1+k}{2+k} \ }\)の直線だから線分\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\) と交わる範囲は図より
傾き\(\small{ \ \displaystyle \frac{1+k}{2+k} \ }\)が\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{4} \ }\)以上であればよい。
\(\small{ \displaystyle \frac{1+k}{2+k} \geqq \displaystyle \frac{1}{4} \ }\)
(a)\(\small{ \ k\gt -2 \ }\)
\(\small{ \ 4(1+k)\geqq 2+k \ }\)
これを解いて\(\small{ \ k \geqq -\displaystyle \frac{2}{3} \ }\)
\(\small{ \ k\gt -2 \ }\)より\(\small{ \ k \geqq -\displaystyle \frac{2}{3} \ }\)
(b)\(\small{ \ k\lt -2 \ }\)
\(\small{ \ 4(1+k)\leqq 2+k \ }\)
これを解いて\(\small{ \ k \leqq -\displaystyle \frac{2}{3} \ }\)
\(\small{ \ k\lt -2 \ }\)より\(\small{ \ k \lt -2 \ }\)
(ii)\(\small{ \ k=-2 \ }\)のとき直線\(\small{ \ l \ }\)は\(\small{ \ x=5 \ }\)となり、線分\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)を通る
(i)(ii)より\(\small{ \ k \leqq -2、k\geqq -\displaystyle \frac{2}{3} \ }\)

2直線の交点を通る直線の方程式-02

(3)直線\(\small{ \ l \ }\)の式は\(\small{ \ x-y-1=0 \ }\)かつ\(\small{ \ x-2y-3\neq0 \ }\)を満たす\(\small{ \ k \ }\)は存在しないから\(\small{ \ l \ }\)は直線\(\small{ \ x-y-1=0 \ }\)上にあって直線\(\small{ \ x-2y+3=0 \ }\)上にない点は通らない。よって線分\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)の方程式が\(\small{ \ x+2y-7=0(1\leqq x \leqq 5) \ }\)から線分\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)は直線\(\small{ \ x-y-1=0 \ }\) と点\(\small{ \ (3、2) \ }\)で交わるので、点\(\small{ \ (3、2) \ }\)は直線\(\small{ \ x-2y+3=0 \ }\)にはないから、求める点は\(\small{ \ (3、2) \ }\)

2直線の交点を通る直線の方程式-03

point
上の問題をさらに詳しく確認してみよう。
\(\small{\overbrace{ (x-2y+3)}^{ ① }+ k\overbrace{(x-y-1)}^{ ② }=0 \ }\)とすると
\(\small{①}\)と\(\small{②}\)上にない点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)、\(\small{①}\)上の点\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)、\(\small{②}\)上の点\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)のいずれかと、\(\small{ \ x-2y-3=0 \ }\)と\(\small{ \ x-y-1=0 \ }\)の交点を通る直線について考えてみよう。
2直線の交点を通る直線の方程式-04
\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)の座標を式に代入すると、\(\small{①②}\)ともに\(\small{ \ 0 \ }\)にならないから与式が成り立つ\(\small{ \ k \ }\)が\(\small{ \ 1 \ }\)つ存在する。つまりその\(\small{ \ k \ }\)を式に代入すると\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)と\(\small{ \ x-2y-3=0 \ }\)と\(\small{ \ x-y-1=0 \ }\)の交点を通る直線が求まる。

次に\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)の座標を式に代入すると、\(\small{①}\)は\(\small{ \ 0 \ }\)、\(\small{②}\)は\(\small{ \ 0 \ }\)にならないから\(\small{ \ k=0 \ }\)で与式は成り立つ。つまり\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)と\(\small{ \ x-2y-3=0 \ }\)と\(\small{ \ x-y-1=0 \ }\)の交点を通る直線は\(\small{ \ k=0 \ }\)のときで\(\small{ \ x-2y-3=0 \ }\)になる。

最後に\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)の座標を式に代入すると、\(\small{②}\)は\(\small{ \ 0 \ }\)、\(\small{①}\)は\(\small{ \ 0 \ }\)にならないから与式を成立させる\(\small{ \ k \ }\)は存在しない。つまり\(\small{ \ x-y-1=0 \ }\)だけはどんな\(\small{ \ k \ }\)の値を代入しても表すことができないんだ。

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リンス

名前:リンス
職業:塾講師/家庭教師
性別:男
趣味:料理・問題研究
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