二倍角・半角・三倍角の公式の求め方

数学Ⅱ 三角関数

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は二倍角の公式・半角の公式・三倍角の公式について学習していこう。

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二倍角の公式・半角の公式・三倍角の公式の導き方

二倍角の公式・半角の公式・三倍角の公式

・二倍角の公式
\(\small{ \ \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \cos2\theta&=&\cos^2\theta-\sin^2\theta\\
&=&1-2\sin^2\theta\\
&=&2\cos^2\theta-1 \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \tan2\theta=\displaystyle \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} \ }\)

・半角の公式
\(\small{ \ \sin^2\displaystyle \frac{\theta}{2}=\displaystyle \frac{1-\cos\theta}{2} \ }\)
\(\small{ \ \cos^2\displaystyle \frac{\theta}{2}=\displaystyle \frac{1+\cos\theta}{2} \ }\)
\(\small{ \ \tan^2\displaystyle \frac{\theta}{2}=\displaystyle \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\ }\)

・三倍角の公式
\(\small{ \ \sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta \ }\)
\(\small{ \ \cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\ }\)

二倍角の公式の求め方

二倍角の公式は三角関数の加法定理を利用する。
加法定理
\(\small{ \ \sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \ }\)
\(\small{ \ \cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \ }\)
\(\small{ \ \tan(\alpha+\beta)=\displaystyle \frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta} \ }\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \sin2\theta&=&\sin\left(\theta+\theta\right)\\
&=&\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta\\
&=&2\sin\theta\cos\theta \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \cos2\theta&=&\cos\left(\theta+\theta\right)\\
&=&\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta\\
&=&\cos^2\theta-\sin^2\theta\\
&=&1-2\sin^2\theta\\
&=&2\cos^2\theta-1 \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \tan2\theta&=&\tan\left(\theta+\theta\right)\\
&=&\displaystyle \frac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta}\\
&=&\displaystyle \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} \ \end{eqnarray}}\)

半角の公式の求め方

\(\small{ \ \cos2x=1-2\sin^2x \ }\)より
\(\small{ \ \sin^2x=\displaystyle \frac{1-\cos x}{2} \ }\)
\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{\theta}{2} \ }\)とすると
\(\small{ \ \sin^2\displaystyle \frac{\theta}{2}=\displaystyle \frac{1-\cos\theta}{2} \ }\)

同様に
\(\small{ \ \sin2x=2\cos^2x-1 \ }\)より
\(\small{ \ \cos^2x=\displaystyle \frac{1+\cos x}{2} \ }\)
\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{\theta}{2} \ }\)とすると
\(\small{ \ \cos^2\displaystyle \frac{\theta}{2}=\displaystyle \frac{1+\cos\theta}{2} \ }\)

\(\small{ \ \sin^2\displaystyle \frac{\theta}{2}=\displaystyle \frac{1-\cos\theta}{2} \ }\)
\(\small{ \ \cos^2\displaystyle \frac{\theta}{2}=\displaystyle \frac{1+\cos\theta}{2} \ }\)より
\(\small{ \ \tan^2\displaystyle \frac{\theta}{2}=\displaystyle \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\ }\)

point
\(\small{ \ \theta \ }\)→\(\small{ \ \displaystyle \frac{\theta}{2} \ }\)って見れば半角になるけど、\(\small{ \ \displaystyle \frac{\theta}{2} \ }\)→\(\small{ \ \theta \ }\)って見れば二倍角になるよね。
だから半角の公式は二倍角の公式を利用して導くんだ。使うのは\(\small{ \ \cos2\theta \ }\)の式だけだから注意しよう。

三倍角の公式の求め方

加法定理を利用して
\(\small{\begin{eqnarray} \ \sin3\theta&=&\sin\left(2\theta+\theta\right)\\
&=&\sin2\theta\cos\theta+\cos2\theta\sin\theta\\
&=&2\sin\theta\cos^2\theta+\left(1-2\sin^2\theta\right)\sin\theta\\
&=&2\sin\theta\left(1-\sin^2\theta\right)+\left(1-2\sin^2\theta\right)\sin\theta\\
&=&3\sin\theta-4\sin^3\theta \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \cos3\theta&=&\cos\left(2\theta+\theta\right)\\
&=&\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\theta\\
&=&\left(2\cos^2\theta-1\right)\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta\\
&=&\left(2\cos^2\theta-1\right)\cos\theta-2\left(1-\cos^2\theta\right)\cos\theta\\
&=&4\cos^3\theta-3\cos\theta\ \end{eqnarray}}\)

point
三倍角の公式は\(\small{ \ \sin3\theta \ }\)は\(\small{ \ \sin\theta \ }\)だけで、\(\small{ \ \cos3\theta \ }\)は\(\small{ \ \cos\theta \ }\)だけで表すって覚えておけば簡単に導くことができるからね。

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