同一直線上の点とベクトル

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は同一直線上の点とベクトルについて学習していこう。

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三点が同一直線上にあるベクトル

以前に学習した直線上にある点の位置ベクトルでは、点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)が始点のとき、直線\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)上の点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の位置ベクトルは\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)と実数\(\small{ \ s \ }\)を使って、\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+ s\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)に、直線\(\small{ \ \mathrm{OA} \ }\)上にある点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)の位置ベクトルは実数\(\small{ \ k \ }\)を使って \(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OP} }=k \overrightarrow{ \mathrm{OA} } \ }\)って表すことができたよね。

今回はこれを応用して同一直線上にある点をベクトルで表してみよう

同一直線上にあるベクトル

三点\(\small{ \ \mathrm{P, \ Q, \ R} \ }\)が同一直線上にあるとき
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{PR} }=k \overrightarrow{ \mathrm{PQ} } \ }\)

同一直線上の点とベクトル-01

PQRが同一直線にある

三点\(\small{ \ \mathrm{P, \ Q, \ R} \ }\)が同一直線上にある場合、直線\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)上に点\(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)があるって考えることが出来るよね。

これをベクトルで表そうとすると \(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{PR} }=k \overrightarrow{ \mathrm{PQ} } \ }\)がいえる。

つまりこの\(\small{ \ k \ }\)倍する式が成り立てば三点\(\small{ \ \mathrm{P, \ Q, \ R} \ }\)は同一直線上にあるってことが言えるんだ。

基準のベクトルで二つのベクトルを表す

三点\(\small{ \ \mathrm{P, \ Q, \ R} \ }\)が同一直線上にあることを証明するためには、\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{PQ} } \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{PR} } \ }\)を二つの基準のベクトルを使って表そう。

それぞれを表したら\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{PR} }=k \overrightarrow{ \mathrm{PQ} } \ }\)の形になってるか確認しよう。

\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{PQ} }=s \overrightarrow{ \mathrm{OA} }+t \overrightarrow{ \mathrm{OB} } \ }\)、 \(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{PR} }=s' \overrightarrow{ \mathrm{OA} }+t' \overrightarrow{ \mathrm{OB} } \ }\)のとき
\(\small{ \ \displaystyle \frac{s'}{s}= \displaystyle \frac{t'}{t} \ }\)になれば\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{PR} }=k \overrightarrow{ \mathrm{PQ} } \ }\)が成り立つから基準のベクトルの係数を比較して同一直線上っていえるか確認しよう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ \triangle \mathrm{ABC} \ }\)において、辺 \(\small{ \ \mathrm{BC} \ }\)を\(\small{ \ 2:1 \ }\)に外分する点を\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)、辺 \(\small{ \ \mathrm{CA} \ }\)の中点を\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)、辺\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)を\(\small{ \ 1:2 \ }\)に内分する点を\(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)とする。このとき\(\small{ \ \mathrm{P, \ Q, \ R} \ }\)は同一直線上にあることを証明せよ。

同一直線上の点とベクトル-02

点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)は辺 \(\small{ \ \mathrm{BC} \ }\)を\(\small{ \ 2:1 \ }\)に外分する点より
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AP} }=-\overrightarrow{ \mathrm{AB} }+ 2\overrightarrow{ \mathrm{AC} }\cdots① \ }\)
点\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)は辺 \(\small{ \ \mathrm{CA} \ }\)の中点より
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AQ} }= \displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AC}\cdots② \ }\)
点\(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)は辺 \(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)を \(\small{ \ 1:2 \ }\)に内分する点だから
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AR} }= \displaystyle \frac{1}{3} \overrightarrow{ \mathrm{AB} }\cdots③ \ }\)

\(\small{ \ ① \ ② \ }\)より
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{PQ} }= \overrightarrow{ \mathrm{AQ} }- \overrightarrow{ \mathrm{AP} }\\
=-\overrightarrow{ \mathrm{AB} }+ \displaystyle \frac{3}{2} \overrightarrow{ \mathrm{AC} } \ }\)
\(\small{ \ ① \ ③ \ }\)より
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{PR} }= \overrightarrow{ \mathrm{AR} }- \overrightarrow{ \mathrm{AP} }\\
=-\displaystyle \frac{4}{3}\overrightarrow{ \mathrm{AB} }+2 \overrightarrow{ \mathrm{AC} } \ }\)
よって
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{PQ} }= \displaystyle \frac{4}{3}\overrightarrow{ \mathrm{PR} } \ }\)
つまり三点\(\small{ \ \mathrm{P, \ Q, \ R} \ }\)は同一直線上にある

同一直線上の点とベクトル-03

point
\(\small{ \ \mathrm{P, \ Q, \ R} \ }\)が同一直線上にあるのはメネラウスの定理の逆からも証明することができる。

平面ベクトルの三角形の内分や外分の問題ではメネラウスの定理やチェバの定理で簡単に答えを求めることもできるから覚えておこう。

センター試験とか時間との戦いになる試験では特に効果的だから、いつでも使えるようにしておこう。

Point 同一直線上の点とベクトル

①三点\(\small{ \ \mathrm{P, \ Q, \ R} \ }\)が同一直線上にあるとき\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{PR} }=k \overrightarrow{ \mathrm{PQ} } \ }\)が成り立つ
②基準のベクトルで\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{PQ} } \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{PR} } \ }\)を表して\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{PR} }=k \overrightarrow{ \mathrm{PQ} } \ }\)を導こう

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