重心と内心の位置ベクトル

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三角形の重心と内心の位置ベクトルについて学習していこう。

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重心と内心の位置ベクトル

三角形には五心(重心・内心・外心・垂心・傍心)がある。

今回はこの中の重心と内心の位置ベクトルを学習するけど、その前に五心はどういう点なのか、五心のうち一つでもわからない人はもう一度きちんと復習しておこう。

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重心と内心の位置ベクトル

\(\small{ \ \triangle \mathrm{ABC} \ }\)の重心\(\small{ \ \mathrm{G} \ }\)、内心\(\small{ \ \mathrm{I} \ }\)

重心
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AG} }= \displaystyle \frac{\overrightarrow{ \mathrm{AB} }+ \overrightarrow{ \mathrm{AC} }}{3} \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{A}(\overrightarrow{ a }) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B}(\overrightarrow{ b }) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{C}(\overrightarrow{ c }) \ }\)のとき、
\(\small{ \ \overrightarrow{ g }= \displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+ \overrightarrow{ b }+ \overrightarrow{ c }}{3} \ }\)

重心と内心の位置ベクトル-01

内心
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\displaystyle \frac{c\overrightarrow{\mathrm{AB}}+b\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{a+b+c} \ }\)

重心と内心の位置ベクトル-02

重心の位置ベクトル

\(\small{ \ \triangle \mathrm{ABC} \ }\)の重心\(\small{ \ \mathrm{G} \ }\)の位置ベクトルについて考えてみよう。

\(\small{ \ \mathrm{A}(\overrightarrow{ a }) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B}(\overrightarrow{ b }) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{C}(\overrightarrow{ c }) \ }\)のとき、
\(\small{ \ \mathrm{BC} \ }\)の中点\(\small{ \ \mathrm{M} \ }\)の位置ベクトル\(\small{ \ \overrightarrow{ m } \ }\)は
\(\small{ \ \overrightarrow{ m }= \displaystyle \frac{\overrightarrow{ b }+ \overrightarrow{ c }}{2} \ }\)

重心と内心の位置ベクトル-01

重心\(\small{ \ \mathrm{G} \ }\)は\(\small{ \ \mathrm{AM} \ }\)を\(\small{ \ 2:1 \ }\)に内分する点だから、重心\(\small{ \ \mathrm{G} \ }\)の位置ベクトルを\(\small{ \ \overrightarrow{ g } \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{ g }&=& \displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+2\overrightarrow{ m }}{3}\\[5pt] &=& \displaystyle \frac{a+2 \displaystyle \frac{\overrightarrow{ b }+ \overrightarrow{ c }}{2}}{3}\\[5pt] &=& \displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+ \overrightarrow{ b }+ \overrightarrow{ c }}{3} \ \end{eqnarray}}\)

よって重心の位置ベクトルは\(\small{ \ \overrightarrow{ g }= \displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+ \overrightarrow{ b }+ \overrightarrow{ c }}{3} \ }\)になる。

また、位置ベクトルでは原点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)がどの位置にあっても構わないから、原点が点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)と重なっているとき
\(\small{ \ \overrightarrow{ a }= \overrightarrow{ 0 } \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{ b }=\overrightarrow{ \mathrm{AB} } \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{ c }=\overrightarrow{ \mathrm{AC} } \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{ g }= \overrightarrow{ \mathrm{AG} } \ }\)

重心と内心の位置ベクトル-03

これを\(\small{ \ \overrightarrow{ g }= \displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+ \overrightarrow{ b }+ \overrightarrow{ c }}{3} \ }\)に代入すると\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AG} }= \displaystyle \frac{\overrightarrow{ \mathrm{AB} }+ \overrightarrow{ \mathrm{AC} }}{3} \ }\)になる。

平面ベクトルでは三角形が与えられている問題だと\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AG} }= \displaystyle \frac{\overrightarrow{ \mathrm{AB} }+ \overrightarrow{ \mathrm{AC} }}{3} \ }\)の方がよく使われる。

なぜかっていうと、平面ベクトルでは基準のベクトルが二つのあれば、その他のベクトルは基準のベクトル\(\small{ \ \overrightarrow{ a } \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{ b } \ }\)と実数\(\small{ \ s, \ t \ }\)を用いて\(\small{ \ \overrightarrow{ p }=s \overrightarrow{ a }+t \overrightarrow{ b } \ }\)の形で表すことができる。

だから\(\small{ \ \mathrm{A}(\overrightarrow{ a }) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B}(\overrightarrow{ b }) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{C}(\overrightarrow{ c }) \ }\)のとき、\(\small{ \ \mathrm{C}(\overrightarrow{ c }) \ }\)は\(\small{ \ \mathrm{A}(\overrightarrow{ a }) \ }\)と\(\small{ \ \mathrm{B}(\overrightarrow{ b }) \ }\)を使って表すことができることになるから、三つの基準のベクトル初めから与えられている問題はあまりないんだ。

もちろん問題によっては\(\small{ \ \mathrm{C}(\overrightarrow{ c }) \ }\)が与えられていて、\(\small{ \ \mathrm{A}(\overrightarrow{ a }) \ }\)と\(\small{ \ \mathrm{B}(\overrightarrow{ b }) \ }\)を使って表すことができない問題もあるから、\(\small{ \ \overrightarrow{ g }= \displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+ \overrightarrow{ b }+ \overrightarrow{ c }}{3} \ }\)の式を使うこともあるけどね。

だから重心の位置ベクトルは\(\small{ \ \overrightarrow{ g }= \displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+ \overrightarrow{ b }+ \overrightarrow{ c }}{3} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AG} }= \displaystyle \frac{\overrightarrow{ \mathrm{AB} }+ \overrightarrow{ \mathrm{AC} }}{3} \ }\)の二つの式を覚えておこう。

内心の位置ベクトル

\(\small{ \ \triangle \mathrm{ABC} \ }\)の内心\(\small{ \ \mathrm{I} \ }\)の位置ベクトルについて考えてみよう。

今回は\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)の点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)を基準にした位置ベクトルで内心\(\small{ \ \mathrm{I} \ }\)の\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AI}} \ }\)を表そう。

\(\small{ \ \angle \mathrm{A} \ }\)の二等分線と線分\(\small{ \ \mathrm{BC} \ }\)の交点を\(\small{ \ \mathrm{D} \ }\)とすると\(\small{ \ \mathrm{BD:CD}=\mathrm{AB:AC} \ }\)になる。

\(\small{ \ \mathrm{AB}=c, \ \mathrm{AC}=b, \ \mathrm{BC}=a \ }\)とすると
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\displaystyle \frac{b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{b+c} \ }\)

また\(\small{ \ \angle \mathrm{B} \ }\)の二等分線と線分\(\small{ \ \mathrm{AD} \ }\)の交点は\(\small{ \ \mathrm{I} \ }\)だから\(\small{ \ \mathrm{AI:ID}=\mathrm{AB:BD} \ }\)になる。

\(\small{ \ \mathrm{BD}=a\times \displaystyle \frac{c}{b+c} \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{\mathrm{AI}}&=&\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AD}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}\\[5pt] &=&\displaystyle \frac{c}{c+a\displaystyle \frac{c}{b+c} }\overrightarrow{\mathrm{AD}}\\[5pt] &=&\displaystyle \frac{b+c}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{AD}}\\[5pt] &=&\displaystyle \frac{b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{a+b+c} \ \end{eqnarray}}\)

重心と内心の位置ベクトル-02

よって内心の位置ベクトルは\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\displaystyle \frac{b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{a+b+c} \ }\)になる。

これは三角形の各辺の長さがわかっていたら内心の位置が決まることを示しているからね。

Point 重心と内心の位置ベクトル

①重心の位置ベクトル\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AG} }= \displaystyle \frac{\overrightarrow{ \mathrm{AB} }+ \overrightarrow{ \mathrm{AC} }}{3} \ }\)または\(\small{ \ \overrightarrow{ g }= \displaystyle \frac{\overrightarrow{ a }+ \overrightarrow{ b }+ \overrightarrow{ c }}{3} \ }\)
②内心の位置ベクトル\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\displaystyle \frac{b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{a+b+c} \ }\)

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