ベクトルを用いた三角形の面積の公式

数学B 平面ベクトル

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回はベクトルを用いた三角形の面積の公式を学習していこう。

スポンサードリンク

ベクトルを利用した三角形の面積の求め方

三角形の面積は図形と計量で三角比を使った面積の求め方を覚えたと思うけど、それを応用してベクトルでも三角形の面積を簡単に求められるように次の公式を覚えてこう。

この公式は空間ベクトルでも利用することができるからホントに便利だからね。

三角形の面積

三角形の面積
\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-\left(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)^2} \ }\)

成分表示の場合
\(\small{ \ \overrightarrow{a}=(a_1, \ a_2), \ \overrightarrow{b}=(b_1, \ b_2) \ }\)とすると
\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1| \ }\)

ベクトルを用いた面積の求め方-02
▼あわせてCHECK▼(別ウィンドウで開きます)

ベクトルを用いた三角形の面積

\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}&=&\displaystyle\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin\theta \\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-\cos^2\theta}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\right)^2}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-\left(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)^2} \ \end{eqnarray}}\)

ベクトルを用いた面積の求め方-01

成分表示の三角形の面積

\(\small{ \ \overrightarrow{a}=(a_1, \ a_2), \ \overrightarrow{b}=(b_1, \ b_2) \ }\)とすると

\(\small{ \ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2} \ }\)
\(\small{ \ |\overrightarrow{b}|=\sqrt{b_1^2+b_2^2} \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2 \ }\)

ベクトルを用いた面積の求め方-02

\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-\left(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)^2}\\
=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{ \left(\sqrt{a_1^2+a_2^2}\right)^2\left(\sqrt{b_1^2+b_2^2}\right)^2-\left(a_1b_1+a_2b_2\right)^2 }\\
=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{ \left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right)-\left(a_1b_1+a_2b_2\right)^2 }\\
=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{ a_1^2b_2^2-a_1a_2b_1b_2+a_2^2b_1^2 }\\
=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\left(a_1b_2-a_2b_1\right)^2}\\
=\displaystyle\frac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1| \ }\)

この記事が気に入ったら
いいね ! しよう

Twitter で

  (定・公)平面ベクトル

  ,