指数関数・対数関数の微分(導関数)

数学Ⅲ 微分法

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は指数関数・対数関数の微分(導関数)の証明について学習していこう。

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指数関数・対数関数の導関数

指数関数・対数関数の微分(導関数)

導関数の定義
\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x) \ }\)

常用対数の底\(\small{ \ e \ }\)(ネイピア数)
\(\small{\begin{eqnarray} \ e&=&\displaystyle \lim_{ n \to 0 }(1+n)^{\tiny{\displaystyle\frac{1}{n}}}\\
&=&\displaystyle \lim_{ t \to +\infty }\left(1+\displaystyle\frac{1}{t}\right)^{t}\\
&=&2.7182818\cdots\cdots \ \end{eqnarray}}\)

指数関数の導関数
\(\small{ \ \left(e^x \right)'=e^x \ }\)
\(\small{ \ \left(a^x \right)'=a^x\log a \ }\)

対数関数の導関数
\(\small{ \ \left(\log x \right)'=\displaystyle\frac{1}{x} \ }\)
\(\small{ \ \left(\log_a x \right)'=\displaystyle\frac{1}{x\log a} \ }\)

ネイピア数

ネイピア数とは
\(\small{ \ \displaystyle\frac{d}{dx}a^x=a^x \ }\)を満たす数
\(\small{\begin{eqnarray} \ \displaystyle\frac{d}{dx}a^x&=&\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\
&=&a^x\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{a^{h}-1}{h} \ \end{eqnarray}}\)
つまり\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{a^{h}-1}{h}=1 \ }\)を満たす数\(\small{ \ a \ }\)のことで、この数をネイピア数eとする。

よって\(\small{ \ e=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }(1+h)^{\tiny{\displaystyle\frac{1}{h}}} \ }\)
このネイピア数は循環しない無限小数で\(\small{ \ e=2.7182818\cdots\cdots \ }\)である。

\(\small{ \ \left(e^x \right)'=e^x \ }\)の証明

\(\small{ \ e=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }(1+h)^{\scriptsize{\displaystyle\frac{1}{h}}} \ }\)の利用
\(\small{\begin{eqnarray} \ (e^x)'&=&\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\
&=&\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{e^x(e^h-1)}{h} \ \end{eqnarray}}\)
ここで\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{e^h-1}{h} \ }\)について考える
\(\small{ \ t=e^h-1 \ }\)とすると\(\small{ \ h=\log (t+1) \ }\)
また\(\small{ \ h \to 0 \ }\)のとき\(\small{ \ t \to 0 \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray} \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{e^h-1}{h}&=&\displaystyle \lim_{ t \to 0 }\displaystyle\frac{t}{\log (t+1)}\\[5pt] &=&\displaystyle \lim_{ t \to 0 }\displaystyle\frac{1}{ \ \displaystyle \frac{\log (t+1)}{t} \ }\\[5pt] &=&\displaystyle \lim_{ t \to 0 }\displaystyle\frac{1}{ \ \log (t+1)^{\scriptsize{\displaystyle\frac{1}{t}}} \ } \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ t \to 0 }(1+t)^{\scriptsize{\displaystyle\frac{1}{t}}}=e \ }\)より
\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{e^h-1}{h}=1 \ }\)
よって\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x \ }\)

point
\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{a^{h}-1}{h}=1 \ }\)を満たす数\(\small{ \ a \ }\)こそ\(\small{ \ e \ }\)なんだけど、教科書では\(\small{ \ e=\displaystyle \lim_{ t \to 0 }(1+t)^{\scriptsize{\displaystyle\frac{1}{t}}} \ }\)ってされてるから、この式を利用して証明したんだ。

\(\small{ \ \left(a^x\right)'=a^x\log a \ }\)の証明(1)

\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{a^x(a^h-1)}{h} \ }\)
ここで\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{a^h-1}{h} \ }\)について考える
\(\small{ \ t=a^h-1 \ }\)とすると\(\small{ \ h=\log_a (t+1) \ }\)
また\(\small{ \ h \to 0 \ }\)のとき\(\small{ \ t \to 0 \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray} \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{a^h-1}{h}&=&\displaystyle \lim_{ t \to 0 }\displaystyle\frac{t}{\log_a (t+1)}\\[5pt] &=&\displaystyle \lim_{ t \to 0 }\displaystyle\frac{1}{ \ \displaystyle \frac{\log_a (t+1)}{t} \ }\\[5pt] &=&\displaystyle \lim_{ t \to 0 }\displaystyle\frac{1}{ \ \log_a (t+1)^{\scriptsize{\displaystyle\frac{1}{t}}} \ }\\[5pt] &=&\displaystyle\frac{1}{\log_a e}\\[5pt] &=&\log a \ \end{eqnarray}}\)
よって\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\log a \ }\)

\(\small{ \ \left(a^x\right)'=a^x\log a \ }\)の証明(2)

\(\small{ \ y=a^x \ }\)
これより
\(\small{\begin{eqnarray} \ \log y&=&\log a^x\\
&=&x\log a \ \end{eqnarray}}\)
両辺を\(\small{ \ x \ }\)で微分すると
\(\small{ \ \displaystyle\frac{y'}{y}=\log a \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ y'&=&y\log_a\\
&=&a^x\log a \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ \left(\log x\right)'=\displaystyle \frac{1}{x} \ }\)の証明

\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{\log(x+h)-\log x}{h}\\
= \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{1}{h}\log\displaystyle\frac{x+h}{x}\\
=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{1}{h}\log\left(1+\displaystyle\frac{h}{x}\right)\\
=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\log\left(1+\displaystyle\frac{h}{x}\right)^{\scriptsize{\displaystyle\frac{1}{h}}}\\
=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\log\left\{\left(1+\displaystyle\frac{h}{x}\right)^{\scriptsize{\displaystyle\frac{x}{h}}}\right\}^{\scriptsize{\displaystyle\frac{1}{x}}}\\
=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\displaystyle\frac{1}{x}\log\left\{\left(1+\displaystyle\frac{h}{x}\right)^{\scriptsize{\displaystyle\frac{x}{h}}}\right\}\\
=\displaystyle\frac{1}{x} \ }\)

point
\(\small{ \ \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\left(1+\displaystyle\frac{h}{x}\right)^{\scriptsize{\displaystyle\frac{x}{h}}}=e \ }\)になるからね。

\(\small{ \ \left(\log_a x\right)'=\displaystyle \frac{1}{x\log a} \ }\)の証明

\(\small{ \ \log_a x=\displaystyle\frac{\log x}{\log a} \ }\)
\(\small{ \ \left(\log x\right)'=\displaystyle \frac{1}{x} \ }\)より
\(\small{ \ \left(\log_a x\right)'=\displaystyle \frac{1}{x\log a} \ }\)

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