分数の数列の和

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は分数の数列の和について学習していこう。

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分数の数列の和は部分分数分解を利用

まず重要なのが\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{1}{k}=\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)} \ }\)にならないってこと。\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)の公式を覚えたから使いたくなる気持ちもわかるけど、基本的に分数の数列の和には\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)の公式は使えないからね。

だって\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{1}{k}=\displaystyle \frac{1}{1}+\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{1}{3}+\cdots \displaystyle \frac{1}{n} \ }\)だよね。
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)}=\displaystyle \frac{1}{1+2+3+\cdots+n} \ }\)だから\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{1}{k} \ }\)と\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)} \ }\)は全然違うからね。

だから『\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{1}{k} \ }\)を求めよ』なんて問題は出ないんだ。

分数の数列の和は、部分分数分解を利用した問題か公比が分数の等比数列の問題がほとんどだからね。

数列の和で利用する部分分数分解

\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{(pn+q)(pn+r)}=\displaystyle \frac{1}{q-r}\left(\displaystyle \frac{1}{pn+q}-\displaystyle \frac{1}{pn+r}\right) \ }\)

\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)が公差\(\small{ \ d \ }\)の等差数列のとき
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}=\displaystyle \frac{1}{d}\left(\displaystyle \frac{1}{a_n}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}\right) \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{a_n \cdot a_{n+2}}=\displaystyle \frac{1}{2d}\left(\displaystyle \frac{1}{a_n}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}\right) \ }\)

\(\small{ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{1}{a_k \cdot a_{k+1}}}\)

\(\small{=\displaystyle \frac{1}{d}\left\{\left(\displaystyle \frac{1}{a_1}-\displaystyle \frac{1}{a_2}\right) +\left(\displaystyle \frac{1}{a_2}-\displaystyle \frac{1}{a_3}\right)+\left(\displaystyle \frac{1}{a_3}-\displaystyle \frac{1}{a_4}\right)+\cdots+\left(\displaystyle \frac{1}{a_n}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}\right) \right\}}\)

\(\small{=\displaystyle \frac{1}{d}\left(\displaystyle \frac{1}{a_1}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}\right)}\)

\(\small{\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{1}{a_k \cdot a_{k+2}}}\)

\(\small{=\displaystyle \frac{1}{2d}\left\{\left(\displaystyle \frac{1}{a_1}-\displaystyle \frac{1}{a_3}\right)+\left(\displaystyle \frac{1}{a_2}-\displaystyle \frac{1}{a_4}\right)+\left(\displaystyle \frac{1}{a_3}-\displaystyle \frac{1}{a_5}\right)+\cdots+\left(\displaystyle \frac{1}{a_n}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}\right) \right\}}\)

\(\small{=\displaystyle \frac{1}{2d}\left(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\displaystyle \frac{1}{a_2}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}\right) \ }\)


数列の和はまず一般項を求めよう。

分数の数列の和に限らず、数列の和を求める場合、まずは一般項を求めよう

分数の数列の和は、一般項が部分分数分解できる形であれば部分分数分解して計算するし、公比が分数の等比数列の場合は等比数列の和の公式を利用するからね。

だから数列の和はとにかく一般項を求めてどんな形の数列なのか確認しよう。

部分分数分解

分数の数列の和の問題で部分分数分解を利用する問題の場合、一般項の分母が因数分解できて、因数分解すると同じ等差数列の項の積の形で因数分解されるんだ。

つまり\(\small{\displaystyle \frac{p}{a_n \cdot a_{n+1}}}\)や\(\small{\displaystyle \frac{p}{a_n \cdot a_{n+2}}}\)の形になる。

このとき\(\small{ \ p \ }\)は数字だから、あとから\(\small{ \ p \ }\)倍すればいいから\(\small{\displaystyle \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}}\)や\(\small{\displaystyle \frac{1}{a_n \cdot a_{n+2}}}\)を部分分数分解することを考えよう。

部分分数分解とは分母を因数分解して積の形にし、それぞれの項を分母とする分数の和や差の形に変形することで、
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}=\displaystyle \frac{1}{d}\left(\displaystyle \frac{1}{a_n}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}\right) \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{a_n \cdot a_{n+2}}=\displaystyle \frac{1}{2d}\left(\displaystyle \frac{1}{a_n}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}\right) \ }\)
に変形することをいうんだ。

正確には恒等式を用いて変形するんだけど、数列の問題では綺麗な形に変形できないと和を求めることができない。
だからわざわざ恒等式を使わなくてもいいから頭で計算して変形するようにしよう。

例えば\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{a_n}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}} \ }\)を通分すると
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{a_n}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}= \displaystyle \frac{a_{n+1}-a_n}{a_n \cdot a_{n+1}} \ }\)ってなって\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)が公差\(\small{ \ d \ }\)の等差数列のとき分子は\(\small{ \ d \ }\)になるから
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}=\displaystyle \frac{1}{d}\left(\displaystyle \frac{1}{a_n}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}\right) \ }\)となることがわかるよね。

同様に\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{a_n}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}} \ }\)を通分すると
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{a_n}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}= \displaystyle \frac{a_{n+2}-a_n}{a_n \cdot a_{n+2}} \ }\)ってなって\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)が公差\(\small{ \ d \ }\)の等差数列のとき分子は\(\small{ \ 2d \ }\)になるから
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{a_n \cdot a_{n+2}}=\displaystyle \frac{1}{2d}\left(\displaystyle \frac{1}{a_n}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}\right) \ }\)になるよね。

これを利用して和を求めると

\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle \frac{1}{a_1 \cdot a_2}+\displaystyle \frac{1}{a_2 \cdot a_3}+\cdots+\displaystyle \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}\\
&=&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{1}{a_k \cdot a_{k+1}}\\
&=&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{1}{d}\left(\displaystyle \frac{1}{a_k}-\displaystyle \frac{1}{a_{k+1}}\right)\\
&=&\displaystyle \frac{1}{d}\left\{\left(\displaystyle \frac{1}{a_1}-\displaystyle \frac{1}{a_2}\right) +\left(\displaystyle \frac{1}{a_2}-\displaystyle \frac{1}{a_3}\right)+\left(\displaystyle \frac{1}{a_3}-\displaystyle \frac{1}{a_4}\right)+\cdots+\left(\displaystyle \frac{1}{a_n}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}\right) \right\}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{d}\left(\displaystyle \frac{1}{a_1}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}\right)\end{eqnarray}}\)

になるんだ。
さらに

\(\small{\begin{eqnarray}&&\displaystyle \frac{1}{a_1 \cdot a_3}+\displaystyle \frac{1}{a_2 \cdot a_4}+\cdots+\displaystyle \frac{1}{a_n \cdot a_{n+2}}\\
&=&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{1}{a_k \cdot a_{k+2}}\\
&=&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{1}{2d}\left(\displaystyle \frac{1}{a_k}-\displaystyle \frac{1}{a_{k+2}}\right)\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2d}\left\{\left(\displaystyle \frac{1}{a_1}-\displaystyle \frac{1}{a_3}\right) +\left(\displaystyle \frac{1}{a_2}-\displaystyle \frac{1}{a_4}\right)+\left(\displaystyle \frac{1}{a_3}-\displaystyle \frac{1}{a_5}\right)+\cdots+\left(\displaystyle \frac{1}{a_n}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}\right) \right\}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{d}\left(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\displaystyle \frac{1}{a_2}-\displaystyle \frac{1}{a_n}-\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}\right)\end{eqnarray}}\)

になる。

例題を確認
問題解答

次の初項から \(\small{ \ n \ }\)項までの和を求めよ。
(1)\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{1\cdot4}、\displaystyle \frac{1}{4\cdot7}、\displaystyle \frac{1}{7\cdot10}、\displaystyle \frac{1}{10\cdot13}、\cdots\ }\)
(2)\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{1\cdot7}、\displaystyle \frac{1}{4\cdot10}、\displaystyle \frac{1}{7\cdot13}、\displaystyle \frac{1}{10\cdot16}、\cdots\ }\)

(1)一般項を\(\small{ \ a_n \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray} \ a_n&=&\displaystyle \frac{1}{\{1+3(n-1)\}\{4+3(n-1)\}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}}\) 
\(\small{ \ =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{1}{3}\left(\displaystyle \frac{1}{3k-2}-\displaystyle \frac{1}{3k+1}\right)}\) 

\(\small{=\displaystyle \frac{1}{3}\left\{\left(\displaystyle \frac{1}{1}-\displaystyle \frac{1}{4}\right) +\left(\displaystyle \frac{1}{4}-\displaystyle \frac{1}{7}\right)+\left(\displaystyle \frac{1}{7}-\displaystyle \frac{1}{10}\right)+\cdots+\left(\displaystyle \frac{1}{3n-2}-\displaystyle \frac{1}{3n+1}\right) \right\}}\)

\(\small{ \ =\displaystyle \frac{1}{3}\left(1-\displaystyle \frac{1}{3n+1}\right)}\)
\(\small{ \ =\displaystyle \frac{n}{3n+1}}\)

(2)一般項を\(\small{ \ a_n \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray} \ a_n&=&\displaystyle \frac{1}{\{1+3(n-1)\}\{7+3(n-1)\}}\\
&=& \displaystyle \frac{1}{(3n-2)(3n+4)}\end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{1}{(3k-2)(3k+4)}}\)
\(\small{ \ = \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }\displaystyle \frac{1}{6}\left(\displaystyle \frac{1}{3k-2}-\displaystyle \frac{1}{3k+4}\right)}\)

\(\small{ \ =\displaystyle \frac{1}{6}\left\{\left(\displaystyle \frac{1}{1}-\displaystyle \frac{1}{7}\right) +\left(\displaystyle \frac{1}{4}-\displaystyle \frac{1}{10}\right)+\left(\displaystyle \frac{1}{7}-\displaystyle \frac{1}{13}\right)+\cdots\\
\cdots+\left(\displaystyle \frac{1}{3n-5}-\displaystyle \frac{1}{3n+1}\right)+\left(\displaystyle \frac{1}{3n-2}-\displaystyle \frac{1}{3n+4}\right) \right\}}\)

\(\small{ \ =\displaystyle \frac{1}{6}\left(1+\displaystyle \frac{1}{4}-\displaystyle \frac{1}{3n+1}-\displaystyle \frac{1}{3n+4}\right)}\)
\(\small{ \ =\displaystyle \frac{15n^2+17n}{8(3n+1)(3n+4)} }\)

point
分母を因数分解したとき、等差数列の\(\small{ \ n \ }\)番目と\(\small{ \ n+1 \ }\)番目の積か、\(\small{ \ n \ }\)番目と\(\small{ \ n+2 \ }\)番目の積のように、等差数列の数の積になっているとき部分分数分解して和を簡単に求めることができる。

因数分解した一般項が\(\small{ \ n \ }\)番目と\(\small{ \ n+1 \ }\)番目の積の場合は最初と最後の項が、\(\small{ \ n \ }\)番目と\(\small{ \ n+2 \ }\)番目の積の場合は初めの\(\small{ \ 2 \ }\)項と終わりの\(\small{ \ 2 \ }\)項が残るから覚えておこう。

Point 分数の数列の和

①一般項の分母を因数分解しよう。
②部分分数分解して和を求めよう。

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\displaystyle \frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\cdots+\displaystyle \frac{1}{(n-1)n(n+1)} \ }\)を求めよ。

一般項を\(\small{ \ a_n \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray} \ a_n&=&\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}-\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}\end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } \displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)}}\)
\(\small{ \ =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 }\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}-\displaystyle \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}}\)

\(\small{ \ =\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\left(\displaystyle \frac{1}{1\cdot2}-\displaystyle \frac{1}{2\cdot3}\right)+\left(\displaystyle \frac{1}{2\cdot3}-\displaystyle \frac{1}{3\cdot4}\right)+\cdots+\left(\displaystyle \frac{1}{(n-1)n}-\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}\right)\right\}\ }\)

\(\small{ \ =\displaystyle \frac{1}{2}\left(\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}\right) \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \frac{(n+2)(n-1)}{4n(n+1)} \ }\)

point
3つの積の\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}\cdot a_{n+2}} \ }\)は\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{k}\left(\displaystyle \frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}} -\displaystyle \frac{1}{a_{n+1} \cdot a_{n+2}} \right)\ }\)に部分分数分解しよう。

また、この問題のように一番後ろの項の\(\small{ \ n \ }\)に\(\small{ \ 1 \ }\)を代入してみると、初項にならない。つまり一番後ろの項は\(\small{ \ n \ }\)番目の一般項でないということがわかるよね。必ず\(\small{ \ n \ }\)番目の項なのか確認してから問題を解こう。

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