三次関数の最大最小(三角関数の置換)

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三次関数の最大最小(三角関数の置換)について学習していこう。

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三角関数を置換して三次関数にしよう

三角関数の\(\small{ \ \sin x \ }\)や\(\small{ \ \sin x +\cos x \ }\)などを\(\small{ \ t \ }\)と置き換えることによって三角関数の最大最小問題を三次関数の最大最小問題にすることができる。

置換して三角関数を三次関数にすると簡単に解くことができるんだ。

三角関数の問題として解くのか、置換して三次関数の問題として解くのか、はっきりと違いが確認できるようにならないといけないからね。

三角関数の最大最小

・置換して三次関数になる三角関数
\(\small{ \ y=\sin3x+\cos2x \ }\)
\(\small{ \ y=\sin^3 x+\cos^3 x+\sin x\cos x \ }\)

・置換して二次関数になる三角関数
\(\small{ \ y=\cos 2x+\sin x \ }\)
\(\small{ \ y=\sin 2x +\sin x+\cos x \ }\)

・置換せず三角関数の合成を利用
\(\small{ \ y=\sin x+\cos x \ }\)
\(\small{ \ y=\sin^2 x+2\sin x\cos x-\cos^2 x \ }\)

置換した文字の定義域に注意しよう

\(\small{ \ x \ }\)の定義域に対して、\(\small{ \ t \ }\)がどんな値を取るのか必ず確認しよう。
特に注意したいのは、\(\small{ \ x \ }\)に定義域が指定されていない場合でも、置換した\(\small{ \ t \ }\)には範囲が存在すること。

例えば、\(\small{ \ 0 \leqq x \lt 2\pi \ }\)のとき
\(\small{ \ t=\sin x \ }\)なら\(\small{ \ -1 \leqq t \leqq 1 \ }\)
\(\small{ \ t=\sin x +\cos x\ }\)なら\(\small{ \ t=\sqrt{2}\sin \left(x +\displaystyle \frac{\pi}{4} \right) \ }\)より\(\small{ \ -\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2} \ }\)になるからね。

三角関数を置換した三次関数を想像しよう

基本的に置換するような問題は置換する形が与えられていて、誘導があることが多いけど、置換する形ってそんなに多くないから限られた形を知っておこう。

・\(\small{ \ t=\sin x \ }\)の場合
\(\small{ \ \sin 3x=3t-4t^3 \ }\)
\(\small{ \ \cos2x=1-2t^2 \ }\)

・\(\small{ \ t=\sin x +\cos x \ }\)の場合
\(\small{ \ \sin x \cos x=\displaystyle \frac{t^2-1}{2} \ }\)
\(\small{ \ \sin^3 x+ \cos^3 x=t^3-3t \cdot \displaystyle \frac{t^2-1}{2} \ }\)

・\(\small{ \ t=\sin x +\sqrt{3}\cos x \ }\)の場合
\(\small{ \ \sin 3x=\displaystyle \frac{t^3-3t}{2} \ }\)

特に\(\small{ \ t=\sin x +\cos x \ }\)の形はよく出題される。
\(\small{ \ \sin x \cos x=\displaystyle \frac{t^2-1}{2} \ }\)とおけるから、\(\small{ \ \sin x \ }\)、\(\small{ \ \cos x \ }\)の対称式であれば、\(\small{ \ t \ }\)の関数に置換することができるからね。

例題を確認
問題解答

関数\(\small{ \ f(x)=4\sin 3x+9\cos 2x \ }\)について次の問いに答えよ。
(1)\(\small{ \ t=\sin x \ }\)として\(\small{ \ f(x) \ }\)を\(\small{ \ t \ }\)の関数で表せ。
(2)\(\small{ \ 0 \leqq x \leqq \pi \ }\)のとき、関数\(\small{ \ f(x) \ }\)の最大値と最小値を求めよ。

(1)三倍角と倍角の公式より
\(\small{ \ \sin 3x=3\sin x -4\sin^3 x =3t-4t^3\ }\)
\(\small{ \ \cos 2x=1-2\sin^2 x=1-2t^2 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ f(x)&=&4(3t-4t^3)+9(1-2t^2)\\[3pt] &=&-16t^3-18t^2+12t+9 \ \end{eqnarray}}\)

(2)\(\small{ \ g(t)=-16t^3-18t^2+12t+9 \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray} \ g'(t)&=&-48t^2-36t+12\\[3pt] &=&-12(t+1)(4t-1) \ \end{eqnarray}}\)
増減表は
\(\small{ \ \begin{array}{c|ccccc}
t & \cdots & -1 & \cdots & \displaystyle \frac{1}{4} & \cdots \\
\hline
g’(t) & - & 0 & + & 0 & - \\
\hline
g(t) & \searrow & -5 & \nearrow & \displaystyle \frac{85}{8} & \searrow
\end{array} \ }\)
また、\(\small{ \ 0 \leqq x \leqq \pi \ }\)より\(\small{ \ 0 \leqq t \leqq 1 \ }\)
\(\small{ \ g(0)=9 \ }\)、\(\small{ \ g(1)=-13 \ }\)
よって最大値は\(\small{ \ \displaystyle \frac{85}{8} \ }\)\(\small{ \ \sin x=\displaystyle \frac{1}{4} \ }\)のとき
最小値は\(\small{ \ -13 \ }\)\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{\pi}{2} \ }\)のとき

point
今回は三次関数への置換だったけど、二次関数への置換もあるからね。
高校数学では置換した場合、必ず定義域が変化するから常に確認しよう。特に関数に\(\small{ \ a \ }\)のような定数が含まれているときは場合分けが必要になるから注意しよう。

Point

①三角関数を\(\small{ \ t \ }\)と置いて\(\small{ \ t \ }\)の三次関数に置換
②定義域を必ず確認

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ x \geqq 0 \ }\)、\(\small{ \ y \geqq 0 \ }\)、\(\small{ \ x^2+y^2=4 \ }\)のとき、\(\small{ \ x^3+y^3 \ }\)の最大値と最小値を求めよ。

\(\small{ \ (x, \ y)=(2\cos \theta, \ 2\sin \theta) \ }\)とおける
ただし、\(\small{ \ \left(0 \leqq \theta \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}\right) \ }\)

\(\small{ \ x^3+y^3\\[3pt] =8\cos^3 \theta +8 \sin^3 \theta\\[3pt] =8\left\{(\sin \theta + \cos \theta )^3-3\sin \theta \cos \theta (\sin \theta +\cos \theta)\right \} }\)

\(\small{ \ t=\sin \theta +\cos \theta \ }\)とすると
\(\small{ \ x^3+y^3\\[3pt] =8\left(t^3-3t \cdot \displaystyle \frac{t^2-1}{2}\cdot t\right)\\[3pt] =-4t^3+12t \ }\)
ここで
\(\small{ \ t=\sin \theta +\cos \theta\\[3pt] =\sqrt{2}\left( \theta + \displaystyle \frac{\pi}{4} \right) \ }\)
\(\small{ \ \therefore 1 \leqq t \leqq \sqrt{2} \ }\)
\(\small{ \ f(t)=-4t^3+12t \ }\)とすると
\(\small{ \ f'(t)=-12t^2+12=-12(t+1)(t-1) \ }\)
増減表は

\(\small{ \begin{array}{c|ccccccc}
x &-\sqrt{2}& \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots & \sqrt{2} \\
\hline
f’(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
f(x) & -4\sqrt{2} & \searrow & -8 & \nearrow & 8 & \searrow & 4\sqrt{2}
\end{array} \ }\)

よって最大値は\(\small{ \ t=1 \ }\)のとき
\(\small{ \ \therefore \theta=0, \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \ }\)のとき\(\small{ \ 8 \ }\)
最小値は\(\small{ \ t=\sqrt{2} \ }\)のとき
\(\small{ \ \therefore \theta=\displaystyle \frac{\pi}{4} \ }\)のとき\(\small{ \ 4\sqrt{2} \ }\)

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