三次関数の最大最小(指数関数の置換)

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三次関数の最大最小(指数関数の置換)について学習していこう。

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指数関数を三次関数に置換

指数関数の\(\small{ \ 2^x \ }\)や\(\small{ \ 2^x +2^{-x} \ }\)などを\(\small{ \ t \ }\)と置き換えることによって、指数関数の最大最小問題を三次関数の最大最小問題にすることができるんだ。

三次関数の最大最小は、微分して増減表を書けばいいから、置換することで簡単に解くことができるよね。

指数関数の三次関数

\(\small{ \ t=a^x \ }\)のとき、
\(\small{ \ (a^x)^3=a^{3x}=(a^3)^x \ }\)は\(\small{ \ t^3 \ }\)になる。
ただし、\(\small{ \ t \gt 0 \ }\)

同様に
\(\small{ \ t=a^x+a^{-x} \ }\)のとき、
\(\small{ \ (a^x)^3+(a^{-x})^3=a^{3x}+a^{-3x}=(a^3)^x+(a^3)^{-x} \ }\)は\(\small{ \ t^3-3t \ }\)になる。
ただし、\(\small{ \ t \geqq 2 \ }\)

置換した文字の定義域に注意しよう

\(\small{ \ x \ }\)の定義域に対して、\(\small{ \ t \ }\)がどんな値を取るか必ず確認しよう。
特に気をつけてほしいのは、\(\small{ \ x \ }\)に定義域が指定されていない場合でも置換した\(\small{ \ t \ }\)には範囲が存在することなんだ。
これは三角関数を置換するときと全く同じだからね。

\(\small{ \ x \ }\)がすべての実数をとるとき、\(\small{ \ t=2^x \ }\)なら\(\small{ \ t \gt 0 \ }\)

\(\small{ \ t=2^x+2^{-x}\ }\)なら、相加平均と相乗平均の関係から\(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \geqq 2 \sqrt{2^x \cdot 2^{-x}}=2 \ }\)より、\(\small{ \ t \geqq 2 \ }\)になるからね。

置換した三次関数を想像しよう

三角関数の場合、基本的に置換する問題は置換する形が与えられてたり、簡単に気付ける場合が多いけど、指数関数の場合は置換する形が与えられていることがほとんどないから、自分で見つけないといけない。

って言っても次の二通りぐらいしかないからすぐ気付くから大丈夫。

・\(\small{ \ t=2^x \ }\)の場合
\(\small{ \ 4^x=2^{2x}=t^2 \ }\)
\(\small{ \ 8^x=2^{3x}=t^3 \ }\)

・\(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \ }\)の場合

\(\small{\begin{eqnarray} \ 4^x+4^{-x}&=&(2^x+2^{-x})^2-2\cdot2^x \cdot 2^{-x}\\[3pt] &=&t^2-2 \\ \end{eqnarray}}\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ 8^x+ 8^{-x}&=&(2^x+2^{-x})^3-3\cdot2^x\cdot2^{-x}(2^x+2^{-x})\\[3pt] &=&t^3-3t \ \end{eqnarray}}\)

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ f(x)=8^x-3\cdot2^x \ }\)について以下の問いに答えよ。
(1)\(\small{ \ f(x)=0 \ }\)となる\(\small{ \ x \ }\)の値を求めよ。
(2)\(\small{ \ f(x) \ }\)の最小値とそのときの\(\small{ \ x \ }\)の値を求めよ。

(1)\(\small{ \ t=2^x \ }\)とすると
\(\small{ \ 8^x-3\cdot2^x=t^3-3t \ }\)より
\(\small{ \ t^3-3t=0 \ }\)
\(\small{ \ t(t+\sqrt{3})(t-\sqrt{3})=0 \ }\)
\(\small{ \ t \gt 0 \ }\)より
\(\small{ \ t=\sqrt{3} \ }\)
\(\small{ \ 2^x=\sqrt{3} \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=\log_2 \sqrt{3}=\displaystyle \frac{1}{2}\log_2 3 \ }\)

(2)(1)と同様に\(\small{ \ t=2^x \ }\)とすると
\(\small{ \ f(x)=g(t)=t^3-3t \ }\)とおける
\(\small{ \ g'(t)=3t^2-3=3(t+1)(t-1) \ }\)
増減表は
\(\small{ \ \begin{array}{c|cccc}
t & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
g’(t) & & - &0 & + \\
\hline
g(t) & & \searrow & -2 & \nearrow
\end{array} \ }\)
よって最小値は\(\small{ \ -2 \ }\)
このとき\(\small{ \ t=1 \ }\)より
\(\small{ \ 2^x=1 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=0 \ }\)

point
最大値や最小値をとるとき、\(\small{ \ t \ }\)の値じゃなくて\(\small{ \ x \ }\)の値が必要だよね。
\(\small{ \ t=2^x \ }\)のときは、簡単に求められるけど、\(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \ }\)って置換したときは、一度\(\small{ \ 2^x=a \ }\)として、まずは\(\small{ \ a \ }\)の二次方程式を解いて\(\small{ \ a \ }\)を求めてから\(\small{ \ x \ }\)を出さないといけないから注意しよう。

Point

①三次関数になる指数関数の形を把握しておこう
②置換した文字の範囲に注意しよう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

(1)\(\small{ \ f(x)=2^x+2^{-x} \ }\)の最小値を求めよ。
(2)\(\small{ \ g(x)=8^x+8^{-x}-4(4^x+4^{-x}) \ }\)最小値とそのときの\(\small{ \ x \ }\)の値を求めよ。

(1)\(\small{ \ 2^x \gt 0 \ }\)、\(\small{ \ 2^{-x} \gt 0 \ }\)だから相加相乗平均の関係より
\(\small{ \ f(x)=2^x+2^{-x}=2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}}=2 \ }\)
等号成立は\(\small{ \ 2^x=2^{-x} \ }\)つまり\(\small{ \ x=0 \ }\)のとき
よって\(\small{ \ f(x) \ }\)は\(\small{ \ x=0 \ }\)のとき最小値\(\small{ \ 2 \ }\)

(2)\(\small{ \ t=2^x+2^{-x} \ }\)とおくと

\(\small{ \ g(x)&=&8^x+8^{-x}-4(4^x+4^{-x})\\
&=&(2^x+2^{-x})^3-3\cdot 2^x \cdot 2^{-x}(2^x+2^{-x})-4\left\{(2^x+2^{-x})^2-2\cdot 2^x \cdot 2^{-x}\right\}\\
&=&t^3-4t^2-3t+8 \ }\)

\(\small{ \ h(t)=t^3-4t^2-3t+8 \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray} \ h'(t)&=&3t^2-8t-3\\
&=&(3t+1)(t-3) \ \end{eqnarray}}\)
増減表は
\(\small{ \ \begin{array}{c|cccc}
t & 2 & \cdots & 3 & \cdots \\
\hline
h’(t) & & - &0 & + \\
\hline
h(t) & & \searrow & -10 & \nearrow
\end{array} \ }\)
\(\small{ \ t=3 \ }\)のとき
つまり\(\small{ \ 2^x+2^{-x}=3 \ }\)
\(\small{ \ \left(2^x\right)^2-3\cdot 2^x+1=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore 2^x=\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \ }\)
\(\small{ \ x=\log_2 \displaystyle \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}=-1+\log_2 \left(3\pm \sqrt{5}\right) \ }\)
よって\(\small{ \ g(x) \ }\)は\(\small{ \ x=-1+\log_2 \left(3\pm \sqrt{5}\right) \ }\)のとき最小値\(\small{ \ -10 \ }\)をとる

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