円の方程式の決定

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は円の方程式の決定について学習していこう。

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平方形か一般形か

円の方程式は中心と半径で表される平方形と、平方形を展開した一般形の二通りの表し方があるから、問題によって使い分けていくことが重要だ。円の方程式を決定する問題では、平方形だと\(\small{ \ a、b、r \ }\)の三文字を、一般形だと\(\small{ \ l、m、n \ }\)の三文字を求めなければいけない。でもどちらも同じ三文字を求めるからといってどっちを使ってもいいってことにはならないんだ。それぞれいつ使うのか、パターンをしっかりと理解してなるべく少ない計算量で問題を解こう。

円の方程式

・平方形
 \(\small{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\)
・一般形
 \(\small{x^2+y^2+lx+my+n=0}\)

平方形の利用

円の方程式の決定問題では、平方形は問題文に中心と半径に関することが書いてある時に利用しよう。というより、この後に記述する一般形を使う場合は、与えられた三点を通るときに利用するから、むしろそれ以外の問題は、全て平方形を利用して円の方程式を決定すると思っていて問題ないよ。

一般形の利用

円の方程式の決定問題では、与えられた三点を通るときは一般形を利用しよう。平方形を利用すると計算量がとんでもないことになるからね。また、次に問題が続く場合は、求めた円の方程式を平方形にして中心と半径も確認しよう。

例題を確認
問題解答

次の円の方程式を求めよ。
(1)\(\small{2}\)点\(\small{ \ (0,1)、(4,-1) \ }\)を通り、直線\(\small{ \ y=x-1 \ }\)上に中心がある円
(2)点\(\small{ \ (-2,1) \ }\)を通り、\(\small{ \ x \ }\)軸、\(\small{ \ y \ }\)軸に接する円
(3)\(\small{ \ 3 \ }\)点\(\small{ \ (0,1)、(3,2)、(6,-7) \ }\)を通る円

(1)中心の座標を\(\small{ \ (t,t-1) \ }\)とすると円の方程式は\(\small{ \ (x-t)^2+(y-t+1)^2=r^2 \ }\)とおける。
\(\small{ \ 2 \ }\)点\(\small{ \ (0,1)、(4,-1) \ }\)を通るので、それぞれ代入すると、
\(\small{(-t)^2+(1-t+1)^2=r^2}\)
\(\small{(4-t)^2+(-1-t+1)^2=r^2}\)
これから\(\small{ \ r \ }\)を消去すると、
\(\small{2t^2-4t+4=2t^2-8t+16}\)
\(\small{4t-12=0}\)
\(\small{t=3}\)、\(\small{r^2=10}\)
よって求める円の方程式は
\(\small{(x-3)^2+(y-2)^2=10}\)

円の方程式の決定-01

(2)点第\(\small{ \ 2 \ }\)象限の点\(\small{ \ (-2,1) \ }\)を通ることと、\(\small{ \ x \ }\)軸、\(\small{ \ y \ }\)軸に接するに接することから求める円の方程式は\(\small{ \ (x+r)^2+(y-r)^2=r^2 \ }\)とおける。ただし、\(\small{ \ r\gt 0}\)
点\(\small{ \ (-2,1) \ }\)を円の方程式に代入して、
\(\small{(-2+r)^2+(1-r)^2=r^2}\)
\(\small{r^2-6r+5=0}\)
\(\small{(r-1)(r-5)}=0\)
\(\small{r=1、5}\)
よって求める円の方程式は
\(\small{(x+1)^2+(y-1)^2=1}\)、
\(\small{(x+5)^2+(y-5)^2=25}\)

円の方程式の決定-02

(3)円の方程式を\(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)とおく。
\(\small{ \ (0,1)、(3,2)、(6,-7) \ }\)をそれぞれ代入し、
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
m+n+1=0 \\
3l+2m+n+13=0\\
6l-7m+n+85=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}}\)
これを解いて
\(\small{l=-6、m=6、n=-7}\)
よって求める方程式は、
\(\small{x^2+y^2-6x+6y-7=0}\)

円の方程式の決定-03

point
円はやっぱり中心と半径がわかってないと図も書けないから、中心と半径って本当大事だよね。そしたら平方形だけでいいじゃんと思うかもしれないけど、3点を通るときに平方形に代入すると計算が大変すぎて死んじゃうよね。だから一般形があると思ってていいと思う笑。平方形と一般形をうまく使い分けて、ビシッと問題を解けるようにしていこう!

Point

①3点を通る円を求める場合は一般形を利用しよう
②3点を通る円以外は平方形を利用しよう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

円\(\small{ \ (x-2)^2+(y-3)^2=25 \ }\)上に中心を持ち、\(\small{ \ x \ }\)軸、\(\small{ \ y \ }\)軸のいずれにも接する円の方程式をすべて求めよ。

\(\small{ \ x \ }\)軸、\(\small{ \ y \ }\)軸のいずれにも接する円の方程式は
\(\small{ \ (x-t)^2+(y-t)^2=t^2 \ }\)または、\(\small{ \ (x-t)^2+(y+t)^2=t^2 \ }\)とおける。
(i)中心の座標が\(\small{ \ (t、t) \ }\)の場合
\(\small{ \ (x-2)^2+(y-3)^2=25 \ }\)上に中心があるので\(\small{ \ (t、t) \ }\)を代入すると
\(\small{ \ (t-2)^2+(t-3)^2=25 \ }\)
\(\small{ \ 2t^2-10t-12=0 \ }\)
\(\small{ \ t^2-5t-6=0 \ }\)
\(\small{ \ (t-6)(t+1)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore t=6、-1 \ }\)
よって求める円の方程式は
\(\small{ \ (x-6)^2+(y-6)^2=36 \ }\)
\(\small{ \ (x+1)^2+(y+1)^2=1 \ }\)
(ii)中心の座標が\(\small{ \ (t、-t) \ }\)の場合
\(\small{ \ (x-2)^2+(y-3)^2=25 \ }\)上に中心があるので\(\small{ \ (t、-t) \ }\)を代入すると
\(\small{ \ (t-2)^2+(-t-3)^2=25 \ }\)
\(\small{ \ 2t^2+2t-12=0 \ }\)
\(\small{ \ t^2+t-6=0 \ }\)
\(\small{ \ (t+3)(t-2)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore t=2、-3 \ }\)
よって求める円の方程式は
\(\small{ \ (x-2)^2+(y+2)^2=4 \ }\)
\(\small{ \ (x+3)^2+(y-3)^2=9 \ }\)
(i)(ii)より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(x-6)^2+(y-6)^2=36 \\
(x+1)^2+(y+1)^2=1 \\
(x-2)^2+(y+2)^2=4 \\
(x+3)^2+(y-3)^2=9 \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

円の方程式の決定-04

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  数学II, 図形と方程式

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