円の接線の方程式(1)

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は接点が与えられた円の接線の方程式について学習していこう。

スポンサードリンク

接点がわかっているときは接線の公式を利用しよう

円の接線を求めるとき、接点がわかっているなら接線の公式を利用して接線の方程式を求めよう。

円の接線の方程式(1)

\(\small{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\)上の\(\small{ \ (x_1,y_1) \ }\)における接線の方程式
\(\small{(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2}\)

とくに円の中心が原点のとき、\(\small{ \ x_1x+y_1y=r^2 \ }\)になる。これは教科書にも載ってるよね。

接点なのかそうでないのか

「\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)を通る接線」といったとき\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)が接点なのか、それとも円周外の点なのかは円の方程式に代入して確認しよう。接点だったら接点の公式を利用すればいいし、そうでないなら次回学習する円の接線の方程式(2)のやり方で解かないといけないからね。安易に\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)が接点と決め付けずに必ず確認しよう。ちなみに「\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)における接線」と言われたら\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)が接点だ。

例題を確認
問題解答1解答2解答3

\(\small{ \ x^2+y^2=25 \ }\)上の\(\small{ \ (3, \ 4) \ }\)における接線の方程式を求めよ。

\(\small{ \ x^2+y^2=25 \ }\)上の\(\small{ \ (3, \ 4) \ }\)における接線の方程式は\(\small{ \ 3x+4y=25 \ }\)

\(\small{ \ (3, \ 4) \ }\)における接線の方程式は\(\small{ \ x=3 \ }\)ではないから\(\small{ \ y=m(x-3)+4 \ }\)とおける。
円の中心と接点を結ぶ線分と接線の方程式は垂直だから\(\small{ \ \displaystyle \frac{4-0}{3-0}\cdot m=-1 \ }\)より
\(\small{ \ m=-\displaystyle \frac{3}{4} \ }\)
よって求める接線の方程式は\(\small{ \ y=-\displaystyle \frac{3}{4}(x-3)+4 \ }\)
\(\small{ \ \therefore 3x+4y=25 \ }\)

\(\small{ \ (3, \ 4) \ }\)における接線の方程式は\(\small{ \ x=3 \ }\)ではないから\(\small{ \ y=m(x-3)+4 \ }\)とおける。
これが円と接するのは、円の中心と直線の距離が半径と等しいとき
\(\small{ \ \displaystyle \frac{|-3m+4|}{\sqrt{m^2+1}}=5 \ }\)
\(\small{ \ |-3m+4|=5\sqrt{m^2+1} \ }\)
\(\small{ \ (-3m+4)^2=25(m^2+1) \ }\)
\(\small{ \ (4m+3)^2=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore m=-\displaystyle \frac{3}{4} \ }\)
よって求める接線の方程式は\(\small{ \ y=-\displaystyle \frac{3}{4}(x-3)+4 \ }\)
\(\small{ \ \therefore 3x+4y=25 \ }\)

point
公式を利用しないとき、接線が\(\small{ \ y \ }\)に平行な直線かどうか調べ、断りを入れる必要があるから注意しよう。また解答3では点と直線の距離を利用しているけど、代入して判別式でもOK。でも定数\(\small{ \ m \ }\)が2つ入っているから計算量がかなり多くなるから点と直線の距離で解くほうがいい。
解答を見比べてもわかるけど公式をきちんと覚えておけばなんてことない問題だよね。いつでも接線の公式を利用できるようにしっかりと覚えておこう。

Point

①接点が分かっているときは接線の公式を利用しよう

この記事が気に入ったら
いいね ! しよう

Twitter で

  数学II, 図形と方程式