円の方程式の基本

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は円の方程式の基本について学習していこう。

スポンサードリンク

円の方程式

円の方程式は中心と半径で表される平方形と、平方形を展開した一般形の二通りの表し方があるから、問題によって使い分けていくことが重要だ。それぞれいつ使うのか、パターンをしっかりと理解しよう。

円ってある点から等しい距離にある点の集合だよね。ある点を\(\small{ \ (a,b) \ }\)、円周上の点を\(\small{ \ (x,y) \ }\)とし、この二点の距離を\(\small{ \ r \ }\)とすると、
\(\small{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r \ }\)の式が成り立つ。これを二乗したものが、円の方程式になるんだ。
\(\small{ \ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \ }\)
まずはこの式をしっかりと覚えておこう。
さらにこの式を展開して、文字を置き換えて整理したものが \(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)ってなって、一般形になるからね。

円の方程式

平方形:\(\small{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\) 
  中心の座標\(\small{ \ (a,b) \ }\) 半径\(\small{ \ r \ }\)
一般形:\(\small{x^2+y^2+lx+my+n=0}\)

ただし、どちらの式も円の成立する条件があって、平方形は\(\small{ \ r^2 \gt 0 \ }\)、一般形は\(\small{ \ l^2+m^2-4n\gt0 \ }\)じゃないと円の方程式にはならないから気をつけよう。

円の方程式の成立条件を考えよう

\(\small{ \ x^2 \ }\)の項と\(\small{ \ y^2 \ }\)の項があり、その項の係数が等しいとき、円の方程式だと決めつけるのはよくない。なぜなら、\(\small{ \ x^2 \ }\)の項と\(\small{ \ y^2 \ }\)の項があり、その項の係数が等しくても円の方程式じゃなくて、点にもなる場合もあるんだ。そのことを次の例題で確認してみよう。

例題を確認
問題解答

次の方程式はどのような図形を表すか答えなさい。
(1)\(\small{x^2+y^2-6x-4y+12=0}\)
(2)\(\small{x^2+y^2-6x-4y+13=0}\)
(3)\(\small{x^2+y^2-6x-4y+14=0}\)

(1) \(\small{x^2+y^2-6x-4y+12=0}\)
\(\small{(x-3)^2+(y-2)^2=1}\)より
中心\(\small{(3,2)}\)、半径\(\small{1}\)の円

(2) \(\small{x^2+y^2-6x-4y+13=0}\)
\(\small{(x-3)^2+(y-2)^2=0}\)より
平面上にある点\(\small{(3,2)}\)

(3) \(\small{x^2+y^2-6x-4y+14=0}\)
\(\small{(x-3)^2+(y-2)^2=-1}\)
(左辺)>\(\small{0}\)、(右辺)\(\small{=-1}\)より
与えられた式を満たす点は存在しない。

point
問題文が一般形で与えられているから、\(\small{ \ l^2+m^2-4n\gt 0 \ }\)を計算すると円になるか確認することは出来るけど、中心や半径がわからないから平方形にして確認した方が後々利用しやすい。

だってその方程式が円だったら、どうせ中心と半径求めることになるだろうから、二度手間だもんね。

平方形に変形したとき半径を示す右辺が正の数だと円、\(\small{ \ 0 \ }\)だと点、負の数だと存在しないから覚えておこう。つまり平方形の右辺(半径の2乗)が正になることと、一般形の\(\small{ \ l^2+m^2-4n \ }\)が正になることは同値だから、いつも平方形にして円が存在するか確認してもOKなんだ。

Point

①円の方程式は平方形と一般形の2つの形がある。
②円の成立条件も考えておこう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

実数\(\small{ \ a、t \ }\)に対し、方程式

\(\small{ \ x^2+y^2+2tx-4ax+2ty+4|a-3|+28=0 \cdots(\ast) \ }\)

がある。\(\small{ \ t \ }\)がどのような実数であってもこの方程式\(\small{(\ast)}\)が円を表すような\(\small{ \ a \ }\)の範囲を求めよ。

一般形から平方形に変形すると

\(\small{ \ \{x+(t-2a)\}^2+(y+t)^2=2t^2-4at+4a^2-4|a-3|-28 \ }\)

これよりすべての実数\(\small{ \ t \ }\)に対して方程式\(\small{(\ast)}\)が円を表すための条件は\(\small{ \ 2t^2-4at+4a^2-4|a-3|-28 \gt0 \ }\)
\(\small{ \ (t-a)^2+a^2-2|a-3|-14 \gt 0 \ }\)がすべての実数\(\small{ \ t \ }\)に対して成立することである。
このような\(\small{ \ a \ }\)の条件は\(\small{ \ a^2-2|a-3|-14 \gt 0 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}a\geqq 3 \\
a^2-2(a-3)-14 \gt0\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
または\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}a\lt3 \\
a^2+2(a-3)-14 \gt 0\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて、\(\small{ \ a\gt 4 \ }\)または\(\small{ \ a\lt -1-\sqrt{21} \ }\)

この記事が気に入ったら
いいね ! しよう

Twitter で

  数学II, 図形と方程式