円の方程式の決定

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は円の方程式の決定について学習していこう。

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平方形と一般形

円の方程式は\(\small{ \ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \ }\)の平方形\(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)の一般形の二つがある。どちらの式も未知数が\(\small{ \ a、b、c、l、m、n \ }\)の3つずつあるよね。だからどちらの式を利用して答えを出しても同じかと言うとそんなことないんだ。この題意の場合はこっちを利用と言う風にしておかないと計算量がすごいことになってしまう場合もあるから、きちんと利用する条件を学んでいこう。

円の方程式の決定

①円周上の\(\small{ \ 3 \ }\)点が与えられている場合
\(\small{x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)を利用
②中心や半径に関する情報が与えられている場合
(円周上の\(\small{ \ 3 \ }\)点が与えられているとき以外)
\(\small{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \ }\)を利用

中心や半径を必要とする問題は平方形を利用しよう

中心の座標や半径に関してのヒントが与えられている問題は平方形を利用して円の方程式を決定しよう。

例題を確認
問題解答

次の円の方程式を求めよ。
(1)\(\small{ \ 2 \ }\)点\(\small{ \ (0,1)、(4,-1) \ }\)を通り、直線\(\small{ \ y=x-1 \ }\)上に中心がある円
(2)点\(\small{ \ (-2,1) \ }\)を通り、\(\small{ \ x \ }\)軸、\(\small{ \ y \ }\)軸に接する円

(1)中心の座標を\(\small{ \ (t,t-1) \ }\)とすると円の方程式は\(\small{ \ (x-t)^2+(y-t+1)^2=r^2 \ }\)とおける。
\(\small{2}\)点\(\small{ \ (0,1)、(4,-1) \ }\)を通るので、それぞれ代入すると、
\(\small{(-t)^2+(1-t+1)^2=r^2}\)
\(\small{(4-t)^2+(-1-t+1)^2=r^2}\)
これから\(\small{ \ r \ }\)を消去すると、
\(\small{2t^2-4t+4=2t^2-8t+16}\)
\(\small{4t-12=0}\)
\(\small{t=3}\)、\(\small{r^2=10}\)
よって求める円の方程式は
\(\small{(x-3)^2+(y-2)^2=10}\)

円の方程式の決定-01

(2)点第2象限の点\(\small{ \ (-2,1) \ }\)を通ることと、\(\small{ \ x \ }\)軸、\(\small{ \ y \ }\)軸に接するに接することから求める円の方程式は\(\small{ \ (x+r)^2+(y-r)^2=r^2 \ }\)とおける。ただし、\(\small{ \ r\gt 0 \ }\)
点\(\small{ \ (-2,1) \ }\)を円の方程式に代入して、
\(\small{(-2+r)^2+(1-r)^2=r^2}\)
\(\small{r^2-6r+5=0}\)
\(\small{(r-1)(r-5)}=0\)
\(\small{r=1、5}\)
よって求める円の方程式は
\(\small{(x+1)^2+(y-1)^2=1}\)、
\(\small{(x+5)^2+(y-5)^2=25}\)

円の方程式の決定-02

point
円の方程式の決定問題では、平方形は問題文に中心と半径に関することが書いてある場合に利用する。というより、この後に記述する一般形を使う場合は、与えられた3点を通る場合だけだから、むしろそれ以外の問題は、全て平方形を利用して円の方程式を決定しよう。

円周上の3点は一般形に代入しよう

3点が与えられている問題は一般形を利用して問題を解いていこう。

例題を確認
問題解答

(1)3点\(\small{ \ (0,1)、(3,2)、(6,-7) \ }\)を通る円の方程式を求めよ。
(2)\(\small{ \ (x-1)^2+(y-3)^2=4 \ }\)と\(\small{ \ (x-4)^2+(y-1)^2=9 \ }\)の交点と点\(\small{ \ (3,1) \ }\)を通る円の方程式を求めよ。

(1)円の方程式を\(\small{ \ x^2+y^2+lx+my+n=0 \ }\)とおく。
\(\small{ \ (0,1)、(3,2)、(6,-7) \ }\)をそれぞれ代入し、
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
m+n+1=0 \\
3l+2m+n+13=0\\
6l-7m+n+85=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}}\)
これを解いて
\(\small{l=-6、m=6、n=-7}\)
よって求める方程式は、
\(\small{x^2+y^2-6x+6y-7=0}\)

円の方程式の決定-03

(2)まずは2円の式を平方形から一般形に変形する。
\(\small{x^2+y^2-2x-6y+6=0}\)
\(\small{x^2+y^2-8x-2y+8=0}\)
片方の式を\(\small{ \ k \ }\)倍して辺々加えると
\(\small{\begin{eqnarray}\begin{array}{l}x^2+y^2-2x-6y+6\\
~~~+k(x^2+y^2-8x-2y+8)=0\end{array}\end{eqnarray}}\)
この円の方程式は与えられた2円の交点を通る。
\(\small{ \ (3,1) \ }\)を通るから
\(\small{\begin{eqnarray}\begin{array}{l}3^2+1^2-2\cdot 3-6\cdot1+6\\
~~~+k(3^2+1^2-8\cdot 3-2\cdot 1+8)=0\end{array}\end{eqnarray}}\)
\(\small{4-8k=0}\)
\(\small{k=\displaystyle \frac{1}{2}}\)
\(\small{(x-2)^2+\left(y-\displaystyle \frac{7}{3}\right)^2=\displaystyle \frac{25}{9}}\)

円の方程式の決定-04

point
円はやっぱり中心と半径がわかってないと図も書けないから、中心と半径って本当大事だよね。そしたら平方形だけでいいじゃんと思うかもしれないけど、3点を通るときに平方形に代入すると計算が大変すぎて死んじゃうよね。だから一般形があると思ってていいと思う笑。円の方程式の決定には、平方形は\(\small{ \ a \ }\)、\(\small{ \ b \ }\)、\(\small{ \ c \ }\)の3文字、一般形は\(\small{ \ l \ }\)、\(\small{ \ m \ }\)、\(\small{ \ n \ }\)の3文字が未知数で、どちらも未知数3個だからどっちを利用しても良さそうだけど、それぞれに使い分けがある。しっかり使い分けて問題を解けるようにしていこう。

Point

①円周上の3点が与えられている問題は一般形を利用
②それ以外は平方形を利用

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ 2 \ }\)つの点、\(\small{\mathrm{A}(a,3) \ }\)、\(\small{\mathrm{B}(1,-1) \ }\)を直径の両端とする円\(\small{ \ C \ }\)は\(\small{ \ y \ }\)軸に接している。円\(\small{ \ C \ }\)が\(\small{ \ x \ }\)軸との交わる点を\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)、\(\small{\mathrm{Q} \ }\)とし、線分\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\) の長さを\(\small{ \ b \ }\)とするとき\(\small{ \ b^2-a^2 \ }\)の値を求めよ。

円の中心は\(\small{ \ \left(\displaystyle \frac{a+1}{2},1\right) \ }\)、半径を\(\small{ \ r \ }\)とすれば、\(\small{ \ r^2=\left(\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{2}\right)^2=\displaystyle \frac{(a-1)^2+4^2}{4} \cdots① }\)
円は\(\small{ \ y \ }\)軸に接しているから、|中心の\(\small{ \ x \ }\)座標|\(\small{ \ =r \ }\)
\(\small{ \ \therefore \displaystyle \frac{(a+1)^2}{2^2} =\displaystyle \frac{(a-1)^2}{4}+4\ }\)
\(\small{ \ \therefore a=4 \ }\)
これを①に代入して\(\small{ \ r^2=\displaystyle \frac{25}{4} \ }\)
よって円の方程式は\(\small{ \ \left(x-\displaystyle \frac{5}{2}\right)^2+(y-1)^2=\displaystyle \frac{25}{4} \ }\)
これに\(\small{ \ y=0 \ }\)を代入すると\(\small{ \ x^2-5x+1=0 \ }\)
この方程式の\(\small{ \ 2 \ }\)つの実数解を\(\small{ \ \alpha、\beta(\alpha \lt \beta) \ }\)とおくと
\(\small{ \ b^2=(\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=25-4=21 \ }\)
\(\small{ \ \therefore b^2-a^2=21-4^2=5 \ }\)

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  数学II, 図形と方程式