複素数の定義と計算

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は複素数の定義と計算について学習していこう。

スポンサードリンク

複素数の定義と計算方法をきちんとマスターしよう

今回学習する分野はそう難しくないから、複素数とは何ってところから、語句や複素数の計算方法(有理化など)をしっかりと押さえておこう。

複素数の定義と計算

・複素数の定義
\(\small{ \ a, \ b \ }\)が実数、\(\small{ \ i^2=-1 \ }\)とすると
複素数\(\large{ \ a+bi \ }\)とかける
\(\small{ \ b=0 \ }\)のとき実数
\(\small{ \ b\neq=0 \ }\)のとき虚数
\(\small{ \ a=0 \ }\)かつ\(\small{ \ b\neq=0 \ }\)のとき純虚数

・複素数の計算
\(\small{ \ a, \ b, \ c, \ d \ }\)が実数のとき
\(\small{ \ a+bi=c+di \ }\)\(\small{ \ a=c, \ b=d \ }\)
\(\small{ \ a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i \ }\)
\(\small{ \ a+bi=0 \ }\)\(\small{ \ a=0, \ b=0 \ }\)

複素数と実数と虚数

複素数は実数と虚数に分かれる。

\(\small{ \ a+bi \ }\)の形ですべての複素数を表すことができるんだけど、\(\small{ \ b=0 \ }\)のとき実数になるし、\(\small{ \ b\neq0 \ }\)のとき虚数になる。虚数と複素数を同じって勘違いしている人がいるけど、複素数には実数も含まれているからね。

ちなみに\(\small{ \ a=0 \ }\)かつ\(\small{ \ b\neq=0 \ }\)のとき純虚数っていうからね。

複素数の実部と虚部

\(\small{ \ a+bi \ }\)(\(\small{ \ a, \ b \ }\)は実数)の\(\small{ \ a \ }\)の部分を実部、\(\small{ \ b \ }\)の部分を虚部っていう。

この\(\small{ \ a+bi \ }\)の形が複素数の基本形だから、常にこの形に変形するようにしよう。

例えば
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1+2i}{1+i} \ }\)のような形の複素数は、\(\small{ \ 1-i \ }\)を分母と分子にかけて、分母を有理化して基本形に変形しよう。

\(\small{\begin{eqnarray} \ \displaystyle \frac{1+2i}{1+i}&=&\displaystyle \frac{(1+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}\\[5pt] &=&\displaystyle \frac{3+i}{2}\\[5pt] &=&\displaystyle \frac{3}{2}+\displaystyle \frac{1}{2}i \ \end{eqnarray}}\)

また実数と純虚数を足して\(\small{ \ 0 \ }\)にすることはできないから
\(\small{ \ a+bi=0 \ }\)(\(\small{ \ a, \ b \ }\)は実数)なら\(\small{ \ a=b=0 \ }\)が成り立つ。

\(\small{ \ a \ }\)が虚数でいいなら\(\small{ \ a+bi=0 \ }\)は\(\small{ \ a=b=0 \ }\)じゃなくていいんだけどね。

複素数の計算

複素数の計算は実部は実部だけで、虚部は虚部だけで計算しよう。

\(\small{ \ i^2=-1 \ }\)になることに注意して計算すると四則計算は次のようになる。

\(\small{ \ a, \ b, \ c, \ d \ }\)が実数のとき
①加法
\(\small{ \ a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i \ }\)

②減法
\(\small{ \ a+bi-(c+di)=(a-c)+(b-d)i \ }\)

③乗法

\(\small{ \ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i \ }\)

④除法
\(\small{\begin{eqnarray} \ \displaystyle \frac{a+bi}{c+di}&=&\displaystyle \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\\
&=&\displaystyle \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\displaystyle \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i \ \end{eqnarray}}\)

虚数の大小関係

実数は数直線上に点をとることができるから、二つの数の大きさを比較することができる。

だけど虚数には大小関係が存在しないんだ。
だから虚数の問題や答えに不等式は存在しないからね。

仮に二つの複素数の関係が\(\small{ \ \alpha \gt \beta \ }\)だとして、両辺に\(\small{ \ i \ }\)をかけたとき不等号の向きがどうなるか検討がつかないもんね。

例題を確認
問題解答

次の等式は成り立つか。
(1)
\(\small{ \ \sqrt{-3}\sqrt{-7}=\sqrt{(-3)(-7)} \ }\)
(2)
\(\small{ \ \displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{-3}}=\sqrt{\displaystyle \frac{7}{-3}} \ }\)
(3)
\(\small{ \ \sqrt{(-7)^2}=\left(\sqrt{-7}\right)^2 \ }\)

(1)成り立たない

左辺\(\small{ \ =\sqrt{-3}\sqrt{-7}=\sqrt{3}i\sqrt{7}i=-\sqrt{21} \ }\)
右辺\(\small{ \ =\sqrt{(-3)(-7)}=\sqrt{21} \ }\)

(2)成り立たない

左辺\(\small{ \ =\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{-3}}=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}i}=\displaystyle \frac{\sqrt{7}i}{-\sqrt{3}}=-\sqrt{\displaystyle \frac{7}{3}}i \ }\)
右辺\(\small{ \ =\sqrt{\displaystyle \frac{7}{-3}}=\sqrt{-\displaystyle \frac{7}{3}}=\sqrt{\displaystyle \frac{7}{3}}i \ }\)

(3)成り立たない
左辺\(\small{ \ =\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7 \ }\)
右辺\(\small{ \ =\left(\sqrt{-7}\right)^2 =\left(\sqrt{7}i\right)^2=-7 \ }\)

point
根号の計算が有理数の計算とは異なるから注意しよう。分母に\(\small{ \ i \ }\)がある場合は、常に有理化を考えて計算しよう。

Point

①複素数は常に\(\small{ \ a+bi \ }\)の形に変形
②複素数の四則計算をマスターしよう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

次の等式を満たす実数\(\small{ \ x, \ y \ }\)の値を求めよ。ただし\(\small{ \ i \ }\)は虚数単位とする。
(1)\(\small{ \ (3+2i)(x+yi)=12-5i \ }\)

(1)\(\small{ \ (3+2i)(x+yi)=12-5i \ }\)
\(\small{ \ 3x-2y+(2x+3y)i=12-5i \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3x-2y=12\\
2x+3y=-5
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ x=2, \ y=-3 \ }\)

この記事が気に入ったら
いいね ! しよう

Twitter で

  複素数と方程式

  , ,