三角形の外角の二等分線と線分比

数学A 図形の性質

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三角形の外角の二等分線と線分比の証明について学習していこう。

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三角形の外角の二等分線と線分比の証明

三角形の外角の二等分線と線分比

\(\small{ \ \triangle \mathrm{ABC} \ }\)の\(\small{ \ \angle \mathrm{A} \ }\)の外角の二等分線と直線\(\small{ \ \mathrm{BC} \ }\)の交点を\(\small{ \ \mathrm{D} \ }\)とすると
\(\small{ \ \mathrm{AB}:\mathrm{AC}=\mathrm{BD}:\mathrm{CD} \ }\)

外角の二等分線-01

相似を利用した外角の二等分線と線分比の証明

\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)を通り\(\small{ \ \mathrm{AD} \ }\)に平行な直線と直線\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)との交点を\(\small{ \ \mathrm{E} \ }\)、直線\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)の\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)の先を\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)とすると、
\(\small{ \ \mathrm{AD} /\!/ \mathrm{CE} \ }\)より
\(\small{ \ \angle \mathrm{OAD}=\angle \mathrm{BEC} \ }\)(同位角)
\(\small{ \ \angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{ACE} \ }\)(錯角)
\(\small{ \ \mathrm{AD} \ }\)は外角の二等分線より
\(\small{ \ \angle \mathrm{OAD}=\angle \mathrm{DAC} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \angle \mathrm{AEC}=\angle \mathrm{ACE} \ }\)
よって\(\small{ \ \triangle \mathrm{ACE} \ }\)は二等辺三角形
\(\small{ \ \mathrm{AC}=\mathrm{AE} \ }\)
\(\small{ \ \triangle \mathrm{BEC} \backsim \triangle \mathrm{BAD} \ }\)より
\(\small{ \ \mathrm{AB}:\mathrm{AE}=\mathrm{BD}:\mathrm{CD} \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{AC}=\mathrm{AE} \ }\)より
\(\small{ \ \mathrm{AB}:\mathrm{AC}=\mathrm{BD}:\mathrm{CD} \ }\)

外角の二等分線-02

面積比を利用した外角の二等分線と線分比の証明

高さが等しいので
\(\small{ \ \mathrm{BD}:\mathrm{CD}=\triangle \mathrm{ABD}:\mathrm{ACD} \ }\)
ここで\(\small{ \ \angle \mathrm{CAD}=\left(180^{ \circ }-\angle \mathrm{A}\right)\cdot \displaystyle \frac{1}{2}=90^{ \circ }- \displaystyle \frac{\mathrm{A}}{2} \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \triangle \mathrm{ABD}&=& \displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD} \sin\left(90^{ \circ }+ \displaystyle \frac{\mathrm{A}}{2}\right)\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD} \cos \displaystyle \frac{\mathrm{A}}{2} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \triangle \mathrm{ACD}&=& \displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{AD}\cdot \mathrm{AC} \sin\left(90^{ \circ }-\displaystyle \frac{\mathrm{A}}{2}\right)\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{AC}\cdot \mathrm{AD} \cos \displaystyle \frac{\mathrm{A}}{2} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \triangle \mathrm{ABD}:\mathrm{ACD}=\mathrm{AB}: \mathrm{AC} \ }\)
よって\(\small{ \ \mathrm{AB}:\mathrm{AC}=\mathrm{BD}:\mathrm{CD} \ }\)

外角の二等分線-01

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