五倍角とsin18°とcos36°

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は五倍角とsin18°とcos36°について学習していこう。

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五倍角と18度・36度

五倍角っていっても五倍角の公式を学習するわけじゃないんだ。
\(\small{ \ \theta=18^{\circ} \ }\)や\(\small{ \ \theta=36^{\circ} \ }\)といった、\(\small{ \ 5 \ }\)倍すると\(\small{ \ 90 \ }\)度や\(\small{ \ 180 \ }\)度になる角度の三角関数を求めていくんだ。

五倍角とsin18°とcos36°

\(\small{ \ \sin18^{\circ}=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{4} \ }\)
\(\small{ \ \cos36^{\circ}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{4} \ }\)

\(\small{ \ \sin18^{\circ} \ }\)と\(\small{ \ \cos36^{\circ} \ }\)を求めるためには三倍角の公式を利用するから覚えていない人はきちんと確認しておこう。

sin18°の求め方

\(\small{ \ \theta=18^{\circ} \ }\)とするとき\(\small{ \ 5\theta=90^{\circ} \ }\)になるよね。

余角の関係から\(\small{ \ \sin\left(90^{\circ}-\theta\right)=\cos\theta \ }\)が言えるから、これを利用すると
\(\small{ \ \sin\left(90^{\circ}-2\theta\right)=\cos2\theta \ }\)
\(\small{ \ 5\theta=90^{\circ} \ }\)だから\(\small{ \ \sin\left(90^{\circ}-2\theta\right)=\sin3\theta \ }\)
\(\small{ \ \therefore \sin3\theta=\cos2\theta \ }\)

ここで二倍角と三倍角の公式を利用すると
\(\small{ \ 3\sin\theta-4\sin^3\theta=1-2\sin^2\theta \ }\)

整理して
\(\small{ \ 4\sin^3\theta-2\sin^2\theta-3\sin\theta+1=0 \ }\)
\(\small{ \ \left(\sin\theta-1\right)\left(4\sin^2\theta+2\sin\theta-1\right)=0 \ }\)
\(\small{ \ \sin\theta=\sin18^{\circ}\neq1 \ }\)より
\(\small{ \ 4\sin^2\theta+2\sin\theta-1=0 \ }\)
\(\small{ \ \sin\theta=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4} \ }\)
\(\small{ \ \sin18^{\circ}\gt0 \ }\)より
\(\small{ \ \therefore \sin18^{\circ}=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{4} \ }\)

三倍角と余角の関係から三角関数を\(\small{ \ \sin\theta \ }\)にそろえて\(\small{ \ \sin\theta \ }\)を求めよう。

また解きやすくするために\(\small{ \ \sin\theta \ }\)っておいてるけど、\(\small{ \ \theta=18^{\circ} \ }\)だから変数じゃなくて定数だからね。

point
\(\small{ \ \sin\theta \ }\)を\(\small{ \ x \ }\)とすると\(\small{ \ x \ }\)の三次方程式を解くことになるんだけど、三次方程式の解き方は因数定理を利用して因数を見つけて因数分解するっていうのが基本だから、定数項の約数の\(\small{ \ \pm \ }\)の数を代入して、式が\(\small{ \ 0 \ }\)になる因数を見つけよう。
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cos36°の求め方

\(\small{ \ \theta=36^{\circ} \ }\)とするとき\(\small{ \ 5\theta=180^{\circ} \ }\)になるよね。

補角の関係から\(\small{ \ \sin\left(180^{\circ}-\theta\right)=\sin\theta \ }\)が言えるから、これを利用すると
\(\small{ \ \sin\left(180^{\circ}-2\theta\right)=\sin2\theta \ }\)
\(\small{ \ 5\theta=180^{\circ} \ }\)だから\(\small{ \ \sin\left(180^{\circ}-2\theta\right)=\sin3\theta \ }\)
\(\small{ \ \therefore \sin3\theta=\sin2\theta \ }\)

ここで二倍角と三倍角の公式を利用すると
\(\small{ \ 3\sin\theta-4\sin^3\theta=2\sin\theta\cos\theta \ }\)

整理して
\(\small{ \ 4\sin^3\theta+2\sin\theta\cos\theta-3\sin\theta=0 \ }\)
\(\small{ \ \sin\theta\left(4\sin^2\theta+2\cos\theta-3\right)=0 \ }\)
\(\small{ \ \sin\theta\left(-4\cos^2\theta+2\cos\theta+1\right)=0 \ }\)
\(\small{ \ \sin\theta=\sin36^{\circ}\neq0 \ }\)より
\(\small{ \ 4\cos^2\theta-2\cos\theta-1=0 \ }\)
\(\small{ \ \cos\theta=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{5}}{4} \ }\)
\(\small{ \ \cos36^{\circ}\gt0 \ }\)より
\(\small{ \ \therefore \cos36^{\circ}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{4} \ }\)

三倍角と補角の関係から三角関数を\(\small{ \ \sin\theta \ }\)で括って、\(\small{ \ \cos\theta \ }\)にそろえて\(\small{ \ \cos\theta \ }\)を求めよう。

point
今回は三角関数を利用して\(\small{ \ \cos36^{\circ} \ }\)を求めたけど、図形から求めること可能だったよね。特に\(\small{ \ \cos36^{\circ} \ }\)の値は最も美しい比とされる黄金比の半分の値で有名な値になるからね。
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Point 五倍角とsin18°とcos36°

①sin18°とcos36°は5倍した角が90°、180°になることを利用する
⓶三倍角と補角・余角の関係を利用する

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