群数列

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は群数列について学習していこう。

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群数列は第\(\small{ \ n \ }\)群の\(\small{ \ n \ }\)を用いて数を表す

群数列の問題は第\(\small{ \ n \ }\)群に並んでいる数列に関する問題だから、\(\small{ \ n \ }\)という文字を利用して第\(\small{ \ n \ }\)群に入っている数を表すことが重要なんだ。だからまずは、\(\small{ \ n \ }\)を用いて第\(\small{ \ n \ }\)群の初項を表すことを最初の目標にしよう。それをクリアーして初めて第\(\small{ \ n \ }\)群の第\(\small{ \ m \ }\)項目などについて考えることができるからね。
それに群数列が難しく感じるのは、たくさんの数が出てくるからなんだよね。例えば、
\(\small{ \ \cdots\cdots |\cdots、a_l、\cdots|\cdots\cdots }\)のとき
・\(\small{ \ a_l \ }\):数
・\(\small{ \ l \ }\):初項からの項数
・\(\small{ \ n \ }\):所属する群数
・\(\small{ \ m \ }\):群の項数(第\(\small{ \ n \ }\)群\(\small{ \ m \ }\)項目)
というように求めたり、利用したりする数がたくさんあるから、これがうまく整理出来ていないと難しくなるんだ。
逆に言えばこれさえ整理出来てしまえば群数列なんて難しくないよ。
だから群数列の仕組みを第\(\small{ \ n \ }\)群の初項に注目して考えてみよう。

群数列の解法

第\(\small{ \ n \ }\)群の初項を\(\small{ \ a_x \ }\)とすると
①第\(\small{ \ n \ }\)群に何項入っているか調べる。
②\(\small{ \ x=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} }\)(①で調べた項数)\(\small{ \ +1 \ }\)が初項から数えて第\(\small{ \ n \ }\)群初項までの項数
③並んでいる数列の一般項を求め、\(\small{ \ a_x \ }\)を\(\small{ \ n \ }\)を用いて表す

下の群数列について考えてみよう。

\(\small{ \ a_1|a_2、a_3、a_4|a_5、a_6、a_7、a_8、a_9|a_{10}、\cdots\cdots|\cdots\cdots \cdots|a_x、\cdots、a_y|\cdots\cdot \ }\)

第\(\small{ \ 2 \ }\)群の\(\small{ \ 2 \ }\)という数を利用して第\(\small{ \ 2 \ }\)群の初項\(\small{ \ a_2 \ }\)の\(\small{ \ 2 \ }\)を、第\(\small{ \ 3 \ }\)群の\(\small{ \ 3 \ }\)という数を利用して第\(\small{ \ 3 \ }\)群の初項\(\small{ \ a_5 \ }\)の\(\small{ \ 5 \ }\)を表すこと、つまり第\(\small{ \ n \ }\)群の\(\small{ \ n \ }\)という数を利用して第\(\small{ \ n \ }\)群の初項\(\small{ \ a_x \ }\)の\(\small{ \ x \ }\)を表すことが一番のポイントなんだ。
じゃあどういう式になっているかというと各群の初項の添字について見ていこう。
\(\small{ \ a_1 \ }\)\(\small{ \ 1 \ }\)
\(\small{ \ a_2 \ }\)\(\small{ \ 2=1+1 \ }\)
\(\small{ \ a_5 \ }\)\(\small{ \ 5=1+3+1 \ }\)
\(\small{ \ a_{10} \ }\)\(\small{ \ 10=1+3+5+1 \ }\)
\(\small{ \ \quad \vdots \ }\)

\(\small{ \ a_x \ \ 1+3+5+\cdots+(2n-3)+1=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k-1)+1 \ }\)

つまり(前の群までの項数の和)\(\small{ \ +1 \ }\)が初項から数えてその群の最初の数までの項数ということになる。
だから第\(\small{ \ n \ }\)群の初項\(\small{ \ a_x \ }\)の\(\small{ \ x \ }\)は
\(\small{ \ x=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}}\)(第\(\small{ \ k \ }\)群に入っている項数)\(\small{ \ +1 \ }\)と言えるからこの式を覚えておこう。
ちなみに第\(\small{ \ n \ }\)群の末項\(\small{ \ a_y \ }\)の\(\small{ \ y \ }\)は\(\small{ \ y=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}}\)(第\(\small{ \ k \ }\)群に入っている項数)と言えるからこの式も覚えておこう。

とにかく第\(\small{ \ n \ }\)群の初項の一般項を求めよう

大体の問題は「ある数字が第何群の何項目か」、「第\(\small{ \ n \ }\)群に入っている項の和は」とかなんだけど、まずは問題うんぬんより、第\(\small{ \ n \ }\)群の初項の項数を\(\small{ \ n \ }\)を用いて表し、第\(\small{ \ n \ }\)群の初項を\(\small{ \ n \ }\)を用いて表すことを考えよう。それがわかってしまうと、問題はすべて簡単に解けるから、まずはそこから始めよう。

例題を確認
問題解答

次のように正の奇数を順に奇数個ずつ群に分ける。
\(\small{ \ 1\vert3、5、7|9、11、13、15、17|\cdots \ }\)
このとき次の問いに答えよ。
(1)\(\small{ \ n \ }\)群の\(\small{ \ 1 \ }\)番目の数を\(\small{ \ n \ }\)で表せ。
(2)\(\small{ \ 1983 \ }\)は第何群の何番目か。
(3)第\(\small{ \ 1 \ }\)群の\(\small{ \ 1 \ }\)番目、第\(\small{ \ 2 \ }\)群の\(\small{ \ 2 \ }\)番目、第\(\small{ \ 3 \ }\)群の\(\small{ \ 3 \ }\)番目、\(\small{\cdots}\)というような位置にあたる数字を第\(\small{ \ n \ }\)群の\(\small{ \ n \ }\)番目にあたる数字まで加えた和を求めよ。

(1)第\(\small{ \ 1 \ }\)群に\(\small{ \ 1 \ }\)項、第\(\small{ \ 2 \ }\)群に\(\small{ \ 3 \ }\)項、第\(\small{ \ 3 \ }\)群に\(\small{ \ 5 \ }\)項あることから、第\(\small{ \ n \ }\)群には、\(\small{ 1+2(n-1)= 2n-1 \ }\)項ある。よって第\(\small{ \ n \ }\)群の初項までの項数は
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } (2k-1)+1=n^2-2n+2 \ }\)
つまり求める第\(\small{ \ n \ }\)群の初項の数は

\(\small{ \ a_{n^2-2n+2}=2(n^2-2n+2)-1=2n^2-4n+3 \ }\)

(2)\(\small{ \ a_l=1983 \ }\)とすると\(\small{ \ 2l=1983 \ \therefore l=992 \ }\)より
\(\small{ \ 1983 \ }\)は初めから数えて\(\small{ \ 992 \ }\)項目になる。
\(\small{ \ 992 \ }\)項目が\(\small{ \ n \ }\)群にあるとすると
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } (2k-1) \lt 992 \leqq \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (2k-1) \ }\)
\(\small{ \ (n-1)^2 \lt 992 \lt n^2 \ }\)
\(\small{ \ 31^2=961\quad 32^2=1024 \ }\)より
第\(\small{ \ 32 \ }\)群に\(\small{ \ 992 \ }\)項目がある。
第\(\small{ \ 31 \ }\)群末項までの項数は\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ 31 } (2k-1)=961 \ }\)
よって\(\small{ \ 992-961=31 \ }\)より
\(\small{ \ 1983 \ }\)は第\(\small{ \ 32 \ }\)群\(\small{ \ 31 \ }\)項目である。
(3)初めから数えて、第\(\small{ \ n \ }\)群\(\small{ \ n \ }\)項目までの項数は
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } (2k-1)+n=n^2-n+1 \ }\)
第\(\small{ \ n \ }\)群\(\small{ \ n \ }\)項目の数を\(\small{ \ b_n \ }\)とすると\(\small{ \ b_n=2(n^2-n+1)-1=2n^2-2n+1 \ }\)
よって求める値は
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } b_k=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (2k^2-2k+1) \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \frac{1}{3}n(2n^2+1) \ }\)

point
(2)の\(\small{ \ 1983 \ }\)が第何群の何項目かというのを求める問題は、第\(\small{ \ n \ }\)群の初項を\(\small{ \ a_x \ }\)、第\(\small{ \ n \ }\)群の末項を\(\small{ \ a_y\ }\)とするとき、\(\small{ \ a_x \leqq 1983 \leqq a_y \ }\)とするのではなく、\(\small{ \ 1983=a_{992} \ }\)より\(\small{ \ x \leqq 992 \leqq y \ }\)として、\(\small{ \ 1983 \ }\)が第何群にはいっているかではなく、\(\small{ \ 992 \ }\)項目が第何群にはいっているかという解法が計算も楽だしベストな方法だからね。
さらに\(\small{ \ x \leqq 992 \leqq y \ }\)を\(\small{ \ x-1 \lt 992 \leqq y \ }\)とすることによってもっと計算が簡単になるから、この解法をマスターしておこう。
ちなみに\(\small{ \ x-1 \lt 992 \leqq y \ }\)は、
(第\(\small{ \ n-1 \ }\)群末項の項数)\(\small{\lt 992 \leqq}\)(第\(\small{ \ n \ }\)群末項の項数)のことで\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 }(2k-1) \lt 992 \leqq \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }(2k-1) \ }\)のことだからね。

Point

①第\(\small{ \ n \ }\)群に入っている項数を確認
②\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } \ }\)(①で求めた値)\(\small{ \ +1 \ }\)で\(\small{ \ n \ }\)群の初項までの項数を求める
③「第\(\small{ \ n \ }\)群\(\small{ \ m \ }\)項目」\(\small{ \ \Longleftrightarrow \ }\)「初項から数えて\(\small{ \ l \ }\)項目」の変換を行う

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

次のような群数列を考える。
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{2}\vert\displaystyle \frac{1}{3}、\displaystyle \frac{2}{3}| \ \displaystyle \frac{1}{4}、 \displaystyle \frac{2}{4}、\displaystyle \frac{3}{4}|\displaystyle \frac{1}{5}、\displaystyle \frac{2}{5}、\displaystyle \frac{3}{5}、\displaystyle \frac{4}{5}|\cdots\ }\)
次の問いに答えよ。
(1)第\(\small{ \ 20 \ }\)項目の数を求めよ。
(2)第\(\small{ \ 9 \ }\)群の数\(\small{ \ \displaystyle \frac{7}{10} \ }\)は初めから数えて第何項目になるか求めよ。
(3)第\(\small{ \ n \ }\)群に入る数の和を\(\small{ \ n \ }\)の式で表せ。
(4)第\(\small{ \ 1 \ }\)群から\(\small{ \ n \ }\)群に入る数の和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)を\(\small{ \ n \ }\)の式で表せ。
(5)初項から第\(\small{ \ n \ }\)項までの数列の和が初めて\(\small{ \ 20 \ }\)をこえるのは第\(\small{ \ n \ }\)項が第何群のときか求めよ。

(1)\(\small{ \ n \ }\)群までの項数は\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k=\displaystyle \frac{1}{2} n(n+1)\ }\)
\(\small{ \ n=6 \ }\)のとき\(\small{ \ \displaystyle \frac{6\cdot7}{2}=21 \ }\)より\(\small{ \ 6 \ }\)群に入る。
また\(\small{ \ n \ }\)群の項数は\(\small{ \ n \ }\)であるから、第 \(\small{ \ 20 \ }\)項目は\(\small{ \ 6 \ }\)群\(\small{ \ 5 \ }\)項目である。
\(\small{ \ n \ }\)群\(\small{ \ m \ }\)項目は\(\small{ \ \displaystyle \frac{m}{n+1} \ }\)より求める数は\(\small{ \ \displaystyle \frac{5}7{} \ }\)
(2)\(\small{ \ 8 \ }\)群までの項数は\(\small{ \ \displaystyle \frac{8\cdot9}{2}=36 \ }\)
第\(\small{ \ 9 \ }\)群の\(\small{ \ \displaystyle \frac{7}{10} \ }\)は\(\small{ \ 9 \ }\)群の\(\small{ \ 7 \ }\)項目であるから\(\small{ \ 36+7=43 \ }\)項目
(3)第\(\small{ \ n \ }\)群に入る項数の和は
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \displaystyle \frac{k}{n+1}=\displaystyle \frac{1}{n+1}\cdot\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=\displaystyle \frac{n}{2} \ }\)
(4)(3)より第\(\small{ \ 1 \ }\)群から第\(\small{ \ n \ }\)群に入る和の和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)は\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \displaystyle \frac{k}{2}=\displaystyle \frac{n(n+1)}{4} \ }\)
(5)第\(\small{ \ n \ }\)項目が第\(\small{ \ l \ }\)群にあるとすると
(4)より第\(\small{ \ 1 \ }\)群から第\(\small{ \ l \ }\)群までに入る数の和\(\small{ \ \mathrm{S}_l \ }\)は、
\(\small{ \ \mathrm{S}_l=\displaystyle \frac{l(l+1)}{4} \ }\)
求める第\(\small{ \ l \ }\)群は\(\small{ \ \mathrm{S}_l\geqq 20 \ }\)
これを満たす最小の\(\small{ \ l \ }\)は\(\small{ \ l=9 \ }\)より第\(\small{ \ 9 \ }\)群

point
この問題と前の例題を見て分かるように、群数列は等差数列や等比数列に仕切りを加えた問題と、共通な性質を持つ数列を仕切りごとに並べた問題とに分かれる。
どちら場合も基本的な問題は「ある数字は第何群の第何項目か?」「ある数字は最初から数えて何番目か?」ということになるから、まずは第\(\normalsize{ \ n \ }\)群に何項入っているかをしっかりと確認しよう。
共通な性質の数列を仕切りごとに並べている問題の場合は、共通な性質の規則性を見つけることが重要だ。それだけで第何群の第何項目かわかったりするからね。注意深く数列を見て規則性を見つけよう。

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