判別式の利用

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は判別式の利用について学習していこう。

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判別式の利用

二次方程式\(\small{ \ ax^2+bx+c=0 \ }\)の判別式は\(\small{ \ D=b^2-4ac \ }\)で、この判別式が正、\(\small{ \ 0 \ }\)、負によって解の個数が変わっていくんだ。

\(\small{ \ b \ }\)が偶数のとき\(\small{ \ b=2b' \ }\)とすると、\(\small{ \ D=4b^2-4ac \ }\)となり、\(\small{ \ \displaystyle \frac{D}{4}=b'^2-ac \ }\)の正、\(\small{ \ 0 \ }\)、負を利用することもあるから覚えておこう。

判別式

・\(\small{ \ ax^2+bx+c=0 \ }\)の解の個数を調べる

判別式\(\small{ \ D=b^2-4ac \ }\)
\(\small{ \ D\gt0 \ }\)のとき実数解\(\small{ \ 2 \ }\)個
\(\small{ \ D=0 \ }\)のとき重解
\(\small{ \ D\lt0 \ }\)のとき実数解なし

二次方程式の解の個数

判別式は二次方程式が解を持つか持たないかを調べるために利用するよね。

\(\small{ \ ax^2+bx+c=0 \ }\)の判別式\(\small{ \ D=b^2-4ac \ }\)は、この方程式の解の\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \ }\)の根号の中を示すから、根号の中が正だと\(\small{ \ \pm \ }\)があるから解を二つ持つし、\(\small{ \ D=0 \ }\)なら解は\(\small{ \ x=-\displaystyle \frac{b}{2a} \ }\)の重解になるし、\(\small{ \ D\lt0 \ }\)なら根号の中が負になって実数にならないから解なしになるよね。

だから判別式で実数解の個数が分かるんだ。

二次関数と\(\small{ \ x \ }\)軸との共有点の個数

今度は判別式を\(\small{ \ y=ax^2+bx+c \ }\)と\(\small{ \ y=0 \ }\)との共有点の個数に利用してみよう。

\(\small{ \ y=ax^2+bx+c \ }\)と\(\small{ \ y=0 \ }\)の共有点の\(\small{ \ x \ }\)座標はこの二つの式を結んだ\(\small{ \ ax^2+bx+c=0 \ }\)を解いた値になるから、判別式によって共有点の数がわかることになる。

ちなみに\(\small{ \ y=ax^2+bx+c=a\left(x+\displaystyle \frac{b}{2a}\right)^2-\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a} \ }\)になるから、グラフの凸の向きと頂点の\(\small{ \ y \ }\)座標でも交点の数が分かるよね。

頂点の\(\small{ \ y \ }\)座標は\(\small{ \ -\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a} \ }\)だから判別式で\(\small{ \ x \ }\)軸との共有点の数を求めることと、放物線の頂点の座標から\(\small{ \ x \ }\)軸との共有点の数を求めることは同値だってことになるから覚えておこう。

例題を確認
問題解答

(1)次の方程式の実数解の個数を求めよ。
\(\small{ \ ax^2+x+1=0 \ }\)
(2)次の\(\small{ \ 2 \ }\)次方程式が重解を持つように定数\(\small{ \ k \ }\)を定めよ。またそのときの解も求めよ。
\(\small{ \ 4x^2+(k-2)x+1=0 \ }\)

(1)\(\small{ \ a=0 \ }\)のとき
\(\small{ \ x+1=0 \ }\)より、実数解1個
\(\small{ \ a \neq 0 \ }\)のとき
\(\small{ \ D=1-4a \ }\)より
\(\small{ \ D=1-4a\gt0 \ \therefore a\lt0, \ 0\lt a\lt \displaystyle \frac{1}{4}}\)のとき実数解2個
\(\small{ \ D=1-4a=0 \ \therefore a=\displaystyle \frac{1}{4}}\)のとき重解
\(\small{ \ D=1-4a\lt0 \ \therefore a\gt \displaystyle \frac{1}{4}}\)のとき実数解なし

(2)\(\small{ \ D=(k-2)^2-16 \ }\)より
\(\small{ \ k^2-4k-12=0 \ }\)
\(\small{ \ (k+2)(k-6)=0 \ }\)
\(\small{ \ k=-2, \ 6 \ }\)
\(\small{ \ k=-2 \ }\)のとき
\(\small{ \ (2x-1)^2=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=\displaystyle \frac{1}{2} \ }\)
\(\small{ \ k=6 \ }\)のとき
\(\small{ \ (2x+1)^2=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore x=-\displaystyle \frac{1}{2} \ }\)

point
方程式と言われたら\(\small{ \ x^2 \ }\)の係数が0の場合もあるから注意しよう。また、重解を持つとき2次方程式は必ず\(\small{ \ (ax+b)^2=0 \ }\)の形に変形できるから覚えておこう。

Point

①二次方程式が解を持つ条件は\(\small{ \ D\geqq0 \ }\)になる
②二次関数のグラフと\(\small{ \ x \ }\)軸との交点を求めるとき、判別式と頂点の\(\small{ \ y \ }\)座標の位置を調べるのは同じこと

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

次の関数の最大値と最小値を求めよ。
\(\small{ \ y=\displaystyle \frac{x}{x^2+1} \ }\)

\(\small{ \ y=\displaystyle \frac{x}{x^2+1} \ }\)
\(\small{ \ y(x^2+1)=x \ }\)
\(\small{ \ yx^2 -x+y=0\ }\)
この2次方程式の解が存在するので、
\(\small{ \ D=(-1)^2-4y^2\geqq0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore -\displaystyle \frac{1}{2}\leqq y \leqq \displaystyle \frac{1}{2} \ }\)
よって最大値\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{2} \ }\)
最小値\(\small{ \ -\displaystyle \frac{1}{2} \ }\)

point
判別式といえば解を持つ条件を求めるためのものって思いがちだけど、高校数学の中では不等式を作成できるツールとしても使えるよね。

つまり不等式を作るってことは[ ]\(\small{ \ \leqq k \leqq \ }\)[ ]のような形や\(\small{ \ k \geqq \ }\)[ ]のような形が作れることになる。

だから、\(\small{ \ k \ }\)の最大値・最小値を求めるためにも使うこともできるよね。

文型の生徒は分数関数の最大最小を微分して求めることが出来ないから、この解法は必ずマスターしておこう。

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