放物線と直線の共有点

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は2次関数と1次関数の共有点(交点)について学習していこう。

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放物線と直線の共有点(交点)の求め方

放物線と直線の共有点はその2つの式を連立して共有点の座標を求めよう。放物線は2次関数、直線は1次関数だから直線の式を変形して2次関数に代入することで、2次方程式が作れるからその2次方程式を解いて\(\small{ \ x \ }\)座標を求めて、直線の方程式に代入して\(\small{ \ y \ }\)座標も求めよう。

放物線と直線の共有点の求め方

\(\small{ \ y=ax^2+bx+c \ }\)と\(\small{ \ y=mx+n \ }\)の共有点の座標

\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y=ax^2+bx+c\\
y=mx+n\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{ \ y \ }\)を消去して
\(\small{ \ ax^2+bx+c=mx+n \ }\)を解けば良い

放物線と直線の共有点-01

放物線と直線の共有点の個数

放物線と直線が常に交わるかといえばそうじゃないよね。放物線と直線の位置関係によっては交わったり、接したり、交わらなかったりもする。これは放物線と直線の式を連立させた2次方程式の解の個数で位置関係を判断することができる。2次方程式の解の個数を調べるっていったら判別式だよね。解がそのまま求められるような式だったら、解の公式や因数分解を利用して解けばいいけど、定数が含まれている場合は、定数の範囲によって解の個数が変わるから判別式を利用して定数の範囲を場合分けしないといけないからね。

例題を確認
問題解答

(1)\(\small{ \ y=x^2 \ }\)と\(\small{ \ y=x+2 \ }\)の共有点の座標を求めよ。
(2)\(\small{ \ y=x^2 \ }\)と\(\small{ \ y=2x+a \ }\)が接するとき、共有点の座標を求めよ。

(1)\(\small{ \ x^2=x+2 \ }\)
\(\small{ \ x^2-x-2=0 \ }\)
\(\small{ \ (x-2)(x+1)=0 \ }\)
\(\small{ \ x=-1, \ 2 \ }\)
\(\small{ \ y=-1+2=1 \ }\)
\(\small{ \ y=2+2=4 \ }\)
よって共有点の座標は\(\small{ \ (-1, \ 1), \ (2, \ 4) \ }\)

放物線と直線の共有点-02

(2)\(\small{ \ x^2=2x+a \ }\)
\(\small{ \ x^2-2x-a=0 \ }\)
\(\small{ \ D=4+4a=0 \ }\)
\(\small{ \ a=-1 \ }\)
\(\small{ \ x^2-2x+1=0 \ }\)
\(\small{ \ (x-1)^2=0 \ }\)
\(\small{ \ x=1 \ }\)
\(\small{ \ y=2\cdot1-1=1 \ }\)
よって共有点の座標は\(\small{ \ (1, \ 1) \ }\)

放物線と直線の共有点-03

point
共有点の\(\small{ \ y \ }\)座標を求めるときは、直線の方程式に代入しよう。接するとき共有点を求める2次方程式は\(\small{ \ (ax+b)^2 \ }\)の重解の形になるから覚えておこう。

Point

①放物線と直線の共有点の座標は連立方程式から求めよう
②共有点の個数は判別式を利用して求めることができる

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

放物線\(\small{ \ y=x^2-5x+6 \ }\)と直線\(\small{ \ y=kax-a^2-5a \ }\)がある
(1)すべての実数\(\small{ \ a \ }\)に対して放物線と直線が異なる\(\small{ \ 2 \ }\)点で交わるような定数\(\small{ \ k \ }\)の値の範囲を求めよ。
(2)(1)で求めた範囲にあって放物線と直線の共有点の\(\small{ \ x \ }\)座標の差が\(\small{ \ a \ }\)の値によらず一定になるような定数\(\small{ \ k \ }\)の値を求めよ。

(1)放物線と直線を連立して
\(\small{ \ x^2-5x+6=kax-a^2-5a \ }\)
\(\small{ \ x^2-(ka+5)x+a^2+5a+6=0 \ }\)
放物線と直線が異なる\(\small{ \ 2 \ }\)点で交わるから
\(\small{ \ D_1=(ka+5)^2-4(a^2+5a+6)\gt0 \ }\)
\(\small{ \ (k^2-4)a^2+(10k-20)a+1 \gt0 \ }\)
これが全ての実数\(\small{ \ a \ }\)で成り立てばよいので
(i)\(\small{ \ k^2-4\gt0 \ }\)かつ\(\small{ \ D_2=(10k-20)^2-4(k^2-4) \lt 0 \ }\)
または(ii)\(\small{ \ k^2-4=0 \ }\)かつ\(\small{ \ 10k-20=0 \ }\)
(i)のとき
\(\small{ \ k^2-4\gt0 \ }\)\(\small{ \ \therefore k\lt-2, \ k\gt2\cdots① \ }\)
\(\small{ \ D_2=(10k-20)^2-4(k^2-4) \lt 0 \ }\)
\(\small{ \ 6k^2-25k+26\lt 0 \ }\)
\(\small{ \ (6k-13)(k-2)\lt0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore 2 \lt k \lt \displaystyle \frac{13}{6}\cdots② \ }\)
\(\small{ \ ①, \ ② \ }\)より
\(\small{ \ 2 \lt k \lt \displaystyle \frac{13}{6} \ }\)
(ii)のとき
\(\small{ \ k^2-4=0 \ \therefore k=\pm2 \ }\)
\(\small{ \ 10k-20=0 \ \therefore k=2 \ }\)
よって\(\small{ \ k=2 \ }\)
(i)(ii)より
\(\small{ \ 2 \leqq k \lt \displaystyle \frac{13}{6} \ }\)

(2)\(\small{ \ x \ }\)座標の差は
\(\small{ \ x^2-(ka+5)x+a^2+5a+6=0 \ }\)の解の差なので
解を\(\small{ \ x=\alpha, \ \beta \ }\)とすると
解と係数の関係から
\(\small{ \ \alpha+\beta=ka+5, \ \alpha\beta=a^2+5a+6 \ }\)
解の差はこれを利用すると
\(\small{ \ (\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta \\
=(ka+5)^2-4(a^2+5a+6)\\
=(k^2-4)a^2+(10k-20)a+1\ }\)
これが\(\small{ \ a \ }\)の値によらず一定になるためには
\(\small{ \ k^2-4=0 \ }\)かつ\(\small{ \ 10k-20=0 \ }\)
よって\(\small{ \ k=2 \ }\)

point
定数を含んだ2次方程式は解の公式を利用して複雑な解を出してもいいけど、その式をずっと書き続けるのは大変だから、その場合は解を\(\small{ \ \alpha, \ \beta \ }\)とおいて進めていこう。そっちの方が楽だからね。

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  数学I, 二次関数

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