位置ベクトルと内積

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は位置ベクトルと内積について学習していこう。

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内積を含まない位置ベクトルと内積を含む位置ベクトル

位置ベクトルの問題には内積を含む位置ベクトルと内積を含まない位置ベクトルの問題がある。

一番の違いは問題文に基準のベクトルの大きさと内積が与えられているかどうかになるんだ。

今までなんとなく問題を解いていたかもしれないけど、問題文に内積が与えられている場合と与えられていない場合じゃ解き方って全然違うから、この二つの問題の違いをしっかり覚えていこう。

内積を「含む」「含まない」位置ベクトル

・内積を含む位置ベクトルの問題
問題文に「\(\small{ \ \mathrm{OA}=3 \ }\)」「\(\small{ \ \angle\mathrm{AOB}=60^{\circ} \ }\)」のような大きさや角度など内積に関する記述がある。

・内積を含まない位置ベクトルの問題
問題文に「\(\small{ \ \mathrm{OA} \ }\)を\(\small{ \ 2:1 \ }\)に内分する点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)」のような線分比に関する記述がある。
基準とする二つのベクトルの内積を求めるための情報がない。

内積を含まない位置ベクトルの問題の解き方

内積を含まない位置ベクトルは「二つの直線の交点の位置ベクトルを求める問題」がほとんどなんだ。

一つの直線上にある位置ベクトルを実数\(\small{ \ s \ }\)を利用して表して、さらにもう一つの直線上にある位置ベクトルを実数\(\small{ \ t \ }\)を利用して表す。
このときこの二つのベクトルが一致するから係数を比較して実数\(\small{ \ s、t \ }\)の連立方程式をたてて\(\small{ \ s、t \ }\)を求めるんだ。

例題を確認してみよう。

例題を確認
問題解答

平面上に\(\small{ \ \triangle\mathrm{OAB} \ }\)がある。\(\small{ \ \mathrm{OA} \ }\)を\(\small{ \ 3:1 \ }\)に外分する点を\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{OB} \ }\)を\(\small{ \ 2:1 \ }\)に内分する点を\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)と\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)の交点を\(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)とする。
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)を用いて\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OR}} \ }\)を表せ。

点\(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)は\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)上にあるので\(\small{ \ \mathrm{AR:RB}=1-t:t \ }\)とすると
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OR}}=t\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdots① \ }\)
点\(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)は\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)上にあるので\(\small{ \ \mathrm{PR:RQ}=1-s:s \ }\)とすると
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OR}}=s\overrightarrow{\mathrm{OP}}+(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \ }\)
ここで\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=3\overrightarrow{\mathrm{OA}} \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)より
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OR}}=3s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\displaystyle \frac{2}{3}(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)

位置ベクトルと内積-01

\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)は一次独立なので\(\small{ \ ① \ ② \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
t=3s\\
1-t=\displaystyle \frac{2}{3}(1-s)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ t=\displaystyle \frac{3}{7}, \ s=\displaystyle \frac{1}{7} \ }\)
よって
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\displaystyle \frac{4}{7}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\displaystyle \frac{3}{7}\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)

point
二直線の交わる点の位置ベクトルは、線分比を\(\small{ \ s:1-s \ }\)のようにおいて、実数を利用して表わそう。

内積を含む位置ベクトルの問題の解き方

内積を利用する問題の場合、まずは問題文にベクトルの大きさや内積、または角度が与えられているかを確認しよう。
大きさや角度が与えられていないと内積を利用して問題を解くことができないからね。

問題文に三角形の辺の長さや角度が与えられていたりすると内積を利用して解く事ができるからね。
この内積を含む位置ベクトルは「直線上のベクトルが垂直に交わる問題」がほとんどなんだ。

直線上にある位置ベクトルを実数\(\small{ \ s \ }\)を利用して表して、その点を含む位置ベクトルが別なベクトルと垂直になるから、内積\(\small{ =0 \ }\)から\(\small{ \ s \ }\)を求めるんだ。

例題を確認してみよう。

例題を確認
問題解答

三角形\(\small{ \ \triangle{\mathrm{OAB}} \ }\)において\(\small{ \ \mathrm{OA}=1, \ \mathrm{OB=AB}=2 \ }\)とする。
頂点\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)から辺\(\small{ \ \mathrm{OB} \ }\)へ下ろした垂線の足を\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)、点\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)から辺\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)に下ろした垂線の足を\(\small{ \ \mathrm{K} \ }\)とする。
このとき\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AH}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AK}} \ }\)を\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)を用いて表せ。

\(\small{ \ \mathrm{OA}=1, \ \mathrm{AB=BO}=2 \ }\)より
\(\small{ \ \left|\overrightarrow{\mathrm{OA}} \right|=1 \ }\)、\(\small{ \ \left|\overrightarrow{\mathrm{OB}} \right|=2 \ }\)
\(\small{ \ \left|\overrightarrow{\mathrm{AB}} \right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=2 \ }\)
\(\small{ \ \left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|^2=4 \ }\)
\(\small{ \ \left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|^2-2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{B}}+\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^2=4 \ }\)
\(\small{ \ \therefore \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)

位置ベクトルと内積-02

点\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)は\(\small{ \ \mathrm{OB} \ }\)上にあるから
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)とおける。
\(\small{ \ \mathrm{AH}\perp\mathrm{OB} \ }\)より
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=0 \ }\)
\(\small{ \ \left(k\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right)\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=0 \ }\)
\(\small{ \ k\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^2-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=0 \ }\)
\(\small{ \ 4k-\displaystyle\frac{1}{2}=0 \ }\)
\(\small{ \ k=\displaystyle\frac{1}{8} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \overrightarrow{\mathrm{AH}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\displaystyle\frac{1}{8}\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)

点\(\small{ \ \mathrm{K} \ }\)は\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)上にあるから
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OK}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)とおける。
\(\small{ \ \mathrm{HK}\perp\mathrm{AB} \ }\)より

\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{HK}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0 \ }\)
\(\small{ \ \left(\overrightarrow{\mathrm{OK}}-\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right)=0 \ }\)
\(\small{ \ \left\{s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\left(\displaystyle\frac{7}{8}-s\right)\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right\}\cdot \left(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right)=0 \ }\)
\(\small{ \ -s\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|^2+\left(2s-\displaystyle \frac{7}{8}\right)\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\left(\displaystyle \frac{7}{8}-s\right)\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|^2=0 \ }\)

\(\small{ \ \displaystyle \frac{49}{16}-4s=0 \ }\)
\(\small{ \ s=\displaystyle \frac{49}{64} \ }\)
よって
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\displaystyle \frac{49}{64}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\displaystyle \frac{15}{64}\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \overrightarrow{\mathrm{AK}}=-\displaystyle \frac{15}{64}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\displaystyle \frac{15}{64}\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)

point
問題文ではなす角がわかってないけど、辺の長さが与えられているからそこから内積を求めよう。余弦定理でも求めることができるからね。

この問題のように辺の長さが与えれられている問題は内積を含む問題の場合が多いんだ。
特に垂線の問題だと確実に内積を使うからね。

問題文の最初の方に内積がヒントとして与えられているかどうかで、解き方を考えていこう。

Point 位置ベクトルと内積

①内積を含む位置ベクトルは問題文から二つの基準のベクトルの大きさと内積(なす角)を求めよう
②直線上の点の位置ベクトルは線分比を\(\small{ \ s \ }\):\(\small{ \ 1-s \ }\)のように実数を用いて表わそう

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