外心と垂心の位置ベクトル

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こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は外心と垂心の位置ベクトルについて学習していこう。

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外心と垂心の位置ベクトル

前に「重心と内心の位置ベクトル」を学習したけど、この二つの位置ベクトルは内積を使わなくても求めることができたよね。

でも外心と垂心の位置ベクトルは内積を利用しないと解けないから、内積を利用する位置ベクトルの解き方を応用して位置ベクトルを求めていこう。

外心と垂心の位置ベクトル

\(\small{ \ \triangle\mathrm{ABC} \ }\)の外心\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)、垂心\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)

外心の位置ベクトルの求め方
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AO}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0\\
\overrightarrow{\mathrm{ON}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

外心と垂心の位置ベクトル-01

垂心の位置ベクトルの求め方
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\overrightarrow{\mathrm{CH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0\\
\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

外心と垂心の位置ベクトル-02

三角形の五心を忘れている人はもう一度チェックしておこう。

▼あわせてCHECK▼(別ウィンドウで開きます)

外心の位置ベクトル

\(\small{ \ \triangle\mathrm{ABC} \ }\)の外心\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)の位置ベクトルを考えていこう。

外心三角形の垂直二等分線の交点になるから、このことを利用して位置ベクトルを求めよう。

外心の位置ベクトルを求めるには基準のベクトル\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)の大きさと内積がわかっていないと解けないから、これらの値はわかっていることで進めていこう。

外心と垂心の位置ベクトル-01

まずは外心の位置ベクトルを\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AO}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)とおく。
辺\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)の中点を\(\small{ \ \mathrm{M} \ }\)とすると\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OM}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \ }\)は垂直だから\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0\cdots① \ }\)

辺\(\small{ \ \mathrm{AC} \ }\)の中点を\(\small{ \ \mathrm{N} \ }\)とすると\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{ON}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)は垂直だから\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{ON}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=0\cdots② \ }\)

この二つの\(\small{ \ ① \ ② \ }\)を連立して解けば\(\small{ \ s、t \ }\)が求まるんだ。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ \mathrm{OA}=3 \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{OB}=2 \ }\)、\(\small{ \ \angle\mathrm{AOB}=60^{\circ} \ }\)の\(\small{ \ \triangle\mathrm{OAB} \ }\)の外心を\(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)とする。\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a} \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b} \ }\)とするとき、\(\small{ \ \mathrm{OR} \ }\)を\(\small{ \ \overrightarrow{a} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{b} \ }\)で表せ。

\(\small{ \ \left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=3 \ }\)、\(\small{ \ \left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2 \ }\)、\(\small{ \ \angle\mathrm{AOB}=60^{\circ} \ }\)より
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=3\cdot2\cdot\displaystyle \frac{1}{2}=3 \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OR}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} \ }\)とする。
\(\small{ \ \mathrm{OA} \ }\)の中点を\(\small{ \ \mathrm{M} \ }\)とすると、
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MR}}=0 \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{a}\cdot\left\{\left(s-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\right\}=0 \ }\)
\(\small{ \ \left(s-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\left|\overrightarrow{a}\right|^2+t\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0 \ }\)
\(\small{ \ 9\left(s-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+3t=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore 6s+2t-3=0\cdots① \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{OB} \ }\)の中点を\(\small{ \ \mathrm{N} \ }\)とすると、
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{NR}}=0 \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{b}\cdot\left\{s\overrightarrow{a}+\left(t-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{b}\right\}=0 \ }\)
\(\small{ \ s\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\left(t-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\left|\overrightarrow{b}\right|^2=0 \ }\)
\(\small{ \ 3s+4\left(t-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore 3s+4t-2=0\cdots② \ }\)
\(\small{ \ ① \ ② \ }\)を連立すると
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
6s+2t-3=0\\
3s+4t-2=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ s=\displaystyle \frac{4}{9}, \ t=\displaystyle \frac{1}{6} \ }\)
よって\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\displaystyle \frac{4}{9}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{1}{6}\overrightarrow{b} \ }\)

point
辺\(\small{ \ \mathrm{BC} \ }\)の中点を\(\small{ \ \mathrm{L} \ }\)として\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OL}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{BC}} \ }\)は垂直って式も作ることはできるけど、「\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OM}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \ }\)は垂直」「\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{ON}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)は垂直」の二つの式だけで、点\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)は外心っていえるからわざわざ\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OL}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=0 \ }\)を解く必要はない。

それに基準のベクトルが\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)のときは、上の二つの式の方が計算が楽だからね。

垂心の位置ベクトル

\(\small{ \ \triangle\mathrm{ABC} \ }\)の垂心\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)の位置ベクトルを考えていこう。

垂心各頂点から対辺に下ろした垂線の交点になるから、このことを利用して位置ベクトルを求めよう。

外心の求め方と同じで、垂心の位置ベクトルを求めるときも基準のベクトル\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)の大きさと内積がわかっていないと解けないから、これらの値はわかっていることで進めていこう。

外心と垂心の位置ベクトル-02

まずは垂心の位置ベクトルを\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)とおく。
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AC}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{BH}} \ }\)は垂直だから\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BH}}=0\cdots① \ }\)

\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AB}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{CH}} \ }\)は垂直だから\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CH}}=0\cdots② \ }\)

この二つの\(\small{ \ ① \ ② \ }\)を連立して解けば\(\small{ \ s、t \ }\)が求まるんだ。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ \mathrm{OA}=3 \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{OB}=2 \ }\)、\(\small{ \ \angle\mathrm{AOB}=60^{\circ} \ }\)の\(\small{ \ \triangle\mathrm{OAB} \ }\)の垂心を\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)とする。\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a} \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b} \ }\)とするとき、\(\small{ \ \mathrm{OH} \ }\)を\(\small{ \ \overrightarrow{a} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{b} \ }\)で表せ。

\(\small{ \ \left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=3 \ }\)、\(\small{ \ \left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2 \ }\)、\(\small{ \ \angle\mathrm{AOB}=60^{\circ} \ }\)より
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=3\cdot2\cdot\displaystyle \frac{1}{2}=3 \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} \ }\)とする。
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BH}}=0 \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{a}\cdot\left\{s\overrightarrow{a}+(t-1)\overrightarrow{b}\right\}=0 \ }\)
\(\small{ \ s\left|\overrightarrow{a}\right|^2+(t-1)\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0 \ }\)
\(\small{ \ 9s+3(t-1)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore 3s+t-1=0\cdots① \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{OB} \ }\)の中点を\(\small{ \ \mathrm{N} \ }\)とすると、
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AH}}=0 \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{b}\cdot\left\{(s-1)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\right\}=0 \ }\)
\(\small{ \ (s-1)\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+t\left|\overrightarrow{b}\right|^2=0 \ }\)
\(\small{ \ 3(s-1)+4t=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore 3s+4t-3=0\cdots② \ }\)
\(\small{ \ ① \ ② \ }\)を連立すると
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3s+t-1=0\\
3s+4t-3=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ s=\displaystyle \frac{1}{9}, \ t=\displaystyle \frac{2}{3} \ }\)
よって\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\displaystyle \frac{1}{9}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{b} \ }\)

point
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AH}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{BC}} \ }\)は垂直って式も作ることはできるけど、「\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AC}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{BH}} \ }\)は垂直」「\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AB}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{CH}} \ }\)は垂直」の二つの式だけで、点\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)は垂心っていえるからわざわざ\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=0 \ }\)を解く必要はない。

それに基準のベクトルが\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)のときは、上の二つの式の方が計算が楽だからね。

Point 外心と垂心の位置ベクトル

①外心は外心と辺の中点を結ぶベクトルがその辺と垂直に交わるを利用しよう
②垂心は頂点と垂心を結ぶベクトルが対辺と垂直になることを利用しよう

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