剰余の定理

(1)\(\small{ \ x^3-4x+1 \ }\)を\(\small{ \ 2x+3 \ }\)で割った余りを求めよ。
(2)整式\(\small{ \ x^3+kx^2-3 \ }\)を\(\small{ \ x+2 \ }\)で割ったときの余りが\(\small{ \ 1 \ }\)となるように、定数kの値を定めよ。
(3)\(\small{ \ 2x^3+ax^2+bx+6 \ }\)が\(\small{ \ x+2 \ }\)で割り切れ、\(\small{ \ x-3 \ }\)で割ると\(\small{ \ 30 \ }\)余るとき、定数\(\small{ \ a, \ b \ }\)の値を定めよ。

(1)\(\small{ \ f(x)=x^3-4x+1 \ }\)とすると、\(\small{ \ 2x+3 \ }\)で割った余りは\(\small{ \ f \left(-\displaystyle \frac{3}{2}\right) \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray} \ f \left(- \displaystyle \frac{3}{2}\right)&=& \left(- \displaystyle \frac{3}{2}\right)^3-4 \left(- \displaystyle \frac{3}{2}\right)+1\\
&=& \displaystyle \frac{27}{8} \ \end{eqnarray}}\)

(2)\(\small{ \ f(x)=x^3+kx^2-3 \ }\)とすると\(\small{ \ f(-2)=1 \ }\)になればよい。
\(\small{ \ (-2)^3+k(-2)^2-3=1 \ }\)
\(\small{ \ 4k=12 \ \therefore k=3 \ }\)

(3) \(\small{ \ f(x)=2x^3+ax^2+bx+6 \ }\)とすると
\(\small{ \ f(-2)=0, \ f(3)=0 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
4a-2b-10=0\\
9a+3b+60=30
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=-1, \ b=-7 \ }\)

(1)整式\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ x+2 \ }\)で割ると\(\small{ \ -3 \ }\)余り、\(\small{ \ x+1 \ }\)で割ると\(\small{ \ -4 \ }\)余る。\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ (x+2)(x+1) \ }\)で割ったときの余りを求めよ。
(2)整式\(\small{ \ P(x) \ }\)は\(\small{ \ (x-1)^2 \ }\)で割ると\(\small{ \ 2x+3 \ }\)余り、\(\small{ \ x-3 \ }\)で割ると\(\small{ \ 1 \ }\)余る。この\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ (x-1)^2(x-3) \ }\)で割ったときの余りを求めよ。

(1)\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ (x+2)(x+1) \ }\)で割ったときの商を\(\small{ \ Q(x) \ }\)、余りを\(\small{ \ ax+b \ }\)とすると
\(\small{ \ P(x)=(x+2)(x+1)Q(x)+ax+b \ }\)
剰余の定理より
\(\small{ \ P(-2)=-3 \ }\)
\(\small{ \ P(-1)=-4 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}-2a+b=-3\\
-a+b=-4
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=-1, \ b=-5 \ }\)
よって求める余りは\(\small{ \ -x-5 \ }\)

(2)\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ (x-1)^2(x-3) \ }\)で割ったときの商を\(\small{ \ Q(x) \ }\)、余りを\(\small{ \ ax^2+bx+c \ }\)とする

\(\small{ \ ax^2+bx+c \ }\)を\(\small{ \ (x-1)^2 \ }\)で割ると
\(\small{ \ ax^2+bx+c=a(x-1)^2+(b+2a)x+c-a \ }\)となる

\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ (x-1)^2 \ }\)で割ったときの余りは\(\small{ \ 2x+3 \ }\)だから
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}b+2a=2\\
c-a=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
また剰余の定理より
\(\small{ \ P(3)=1=9a+3b+c \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=-2, \ b=6 \ c=1 \ }\)
よって求める余りは\(\small{ \ -2x^2+6x+1 \ }\)

多項式\(\small{ \ f(x) \ }\)を\(\small{ \ x^2+x+1 \ }\)で割ると\(\small{ \ x+2 \ }\)余り、\(\small{ \ x^2+1 \ }\)で割ると\(\small{ \ 1 \ }\)余る。\(\small{ \ f(x) \ }\)を\(\small{ \ (x^2+x+1)(x^2+1) \ }\)で割ったときの余りを求めよ。

条件より
\(\small{ \ f(x)=(x^2+x+1)Q_1(x)+x+2\cdots① \ }\)
\(\small{ \ f(x)=(x^2+1)Q_2(x)+1\cdots② \ }\)
\(\small{ \ f(x) \ }\)を\(\small{ \ (x^2+x+1)(x^2+1) \ }\)で割った余りを\(\small{ \ R(x) \ }\)とすると
\(\small{ \ R(x) \ }\)は\(\small{ \ x \ }\)の三次式である。
①②より
\(\small{ \ R(x)=(x^2+x+1)(ax+b)+x+2 \ }\)
\(\small{ \ R(x)=(x^2+1)(ax+c)+1 \ }\)
となるので

これがすべての\(\small{ \ x \ }\)で成り立つので
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a+b-c=0\\
b+1=0\\
b-c+1=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=1, \ b=-1, \ c=0 \ }\)
\(\small{ \ R(x)=(x^2+1)x+1=x^3+x+1 \ }\)
よって求める余りは\(\small{ \ x^3+x+1 \ }\)