剰余の定理

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は剰余の定理について学習していこう。

スポンサードリンク

剰余の定理をうまく使いこなそう

整式の割り算は筆算や組立除法で計算することがでるけど、割る整式が具体的に与えられていないと筆算することもできないよね。

そういう場合は剰余の定理をうまく利用して余りを求めよう。
もちろん割る式が具体的に与えられていても、筆算せずに剰余の定理を利用して計算して問題ないからね。

剰余の定理

多項式\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ x-a \ }\)で割った余りが\(\small{ \ P(a) \ }\)になる
\(\small{ \ \because P(x)=(x-a)Q(x)+R \ }\)

剰余の定理とは

剰余の定理とは、「多項式\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ x-a \ }\)で割った余りが\(\small{ \ P(a) \ }\)になる」ということ。

\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ x-a \ }\)で割った商を\(\small{ \ Q(x) \ }\)余りを\(\small{ \ R \ }\)とすると
\(\small{ \ P(x)=(x-a)Q(x)+R \ }\)になる。

この式に\(\small{ \ x=a \ }\)を代入すると、
\(\small{ \ P(a)=(a-a)Q(a)+R=R \ }\)になる。

だから多項式\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ x-a \ }\)で割った余りが\(\small{ \ P(a) \ }\)になるっていえるよね。

これを応用して\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ ax+b \ }\)で割った商を\(\small{ \ Q(x) \ }\)余りを\(\small{ \ R \ }\)とすると
\(\small{ \ P(x)=(ax+b)Q(x)+R \ }\)になる。

この式に\(\small{ \ x=-\displaystyle\frac{b}{a} \ }\)を代入すると
\(\small{ \ R=P\left(-\displaystyle\frac{b}{a}\right) \ }\)になるから、\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ ax+b \ }\)で割ったときの余りは\(\small{ \ P\left(-\displaystyle\frac{b}{a}\right) \ }\)になる。

この「多項式\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ ax+b \ }\)で割った余りが\(\small{ \ P\left(-\displaystyle\frac{b}{a}\right) \ }\)になる」ことも剰余の定理になるからね。

例題を確認
問題解答

(1)\(\small{ \ x^3-4x+1 \ }\)を\(\small{ \ 2x+3 \ }\)で割った余りを求めよ。
(2)整式\(\small{ \ x^3+kx^2-3 \ }\)を\(\small{ \ x+2 \ }\)で割ったときの余りが\(\small{ \ 1 \ }\)となるように、定数kの値を定めよ。
(3)\(\small{ \ 2x^3+ax^2+bx+6 \ }\)が\(\small{ \ x+2 \ }\)で割り切れ、\(\small{ \ x-3 \ }\)で割ると\(\small{ \ 30 \ }\)余るとき、定数\(\small{ \ a, \ b \ }\)の値を定めよ。

(1)\(\small{ \ f(x)=x^3-4x+1 \ }\)とすると、\(\small{ \ 2x+3 \ }\)で割った余りは\(\small{ \ f \left(-\displaystyle \frac{3}{2}\right) \ }\)より
\(\small{\begin{eqnarray} \ f \left(- \displaystyle \frac{3}{2}\right)&=& \left(- \displaystyle \frac{3}{2}\right)^3-4 \left(- \displaystyle \frac{3}{2}\right)+1\\
&=& \displaystyle \frac{27}{8} \ \end{eqnarray}}\)

(2)\(\small{ \ f(x)=x^3+kx^2-3 \ }\)とすると\(\small{ \ f(-2)=1 \ }\)になればよい。
\(\small{ \ (-2)^3+k(-2)^2-3=1 \ }\)
\(\small{ \ 4k=12 \ \therefore k=3 \ }\)

(3) \(\small{ \ f(x)=2x^3+ax^2+bx+6 \ }\)とすると
\(\small{ \ f(-2)=0, \ f(3)=0 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
4a-2b-10=0\\
9a+3b+60=30
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=-1, \ b=-7 \ }\)

多項式を二次式で割った余りは一次式になる

剰余の定理で多項式を一次式で割った余りが定数になることがわかったけど、多項式を二次式で割ったら余りは一次式になる

これは整式の割り算を筆算することでも確認することができるよね。

多項式\(\small{ \ P(x) \ }\)を二次式\(\small{ \ ax^2+bx+c \ }\)で割った余りは\(\small{ \ px+q \ }\)っておくことができるってこと。

\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ ax^2+bx+c \ }\)で割った商を\(\small{ \ Q(x) \ }\)余りを\(\small{ \ px+q \ }\)とすると
\(\small{ \ P(x)=(ax^2+bx+c)Q(x)+px+q \ }\)になる。
この式を利用して多項式を二次式で割った余りを求めよう。

多項式\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ n \ }\)次式で割った余りは\(\small{ \ n-1 \ }\)次式になるから覚えておこう。

例題を確認
問題解答

(1)整式\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ x+2 \ }\)で割ると\(\small{ \ -3 \ }\)余り、\(\small{ \ x+1 \ }\)で割ると\(\small{ \ -4 \ }\)余る。\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ (x+2)(x+1) \ }\)で割ったときの余りを求めよ。
(2)整式\(\small{ \ P(x) \ }\)は\(\small{ \ (x-1)^2 \ }\)で割ると\(\small{ \ 2x+3 \ }\)余り、\(\small{ \ x-3 \ }\)で割ると\(\small{ \ 1 \ }\)余る。この\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ (x-1)^2(x-3) \ }\)で割ったときの余りを求めよ。

(1)\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ (x+2)(x+1) \ }\)で割ったときの商を\(\small{ \ Q(x) \ }\)、余りを\(\small{ \ ax+b \ }\)とすると
\(\small{ \ P(x)=(x+2)(x+1)Q(x)+ax+b \ }\)
剰余の定理より
\(\small{ \ P(-2)=-3 \ }\)
\(\small{ \ P(-1)=-4 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}-2a+b=-3\\
-a+b=-4
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=-1, \ b=-5 \ }\)
よって求める余りは\(\small{ \ -x-5 \ }\)

(2)\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ (x-1)^2(x-3) \ }\)で割ったときの商を\(\small{ \ Q(x) \ }\)、余りを\(\small{ \ ax^2+bx+c \ }\)とする

\(\small{ \ P(x)=(x-1)^2(x-3)Q(x)+ax^2+bx+c \ }\)

\(\small{ \ ax^2+bx+c \ }\)を\(\small{ \ (x-1)^2 \ }\)で割ると
\(\small{ \ ax^2+bx+c=a(x-1)^2+(b+2a)x+c-a \ }\)となる

\(\small{\begin{eqnarray} \ P(x)&=&(x-1)^2(x-3)Q(x)+ax^2+bx+c\\
&=&(x-1)^2(x-3)Q(x)+a(x-1)^2+(b+2a)x+c-a\\
&=&(x-1)^2\left\{(x-3)Q(x)+a\right\}+(b+2a)x+c-a \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ P(x) \ }\)を\(\small{ \ (x-1)^2 \ }\)で割ったときの余りは\(\small{ \ 2x+3 \ }\)だから
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}b+2a=2\\
c-a=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
また剰余の定理より
\(\small{ \ P(3)=1=9a+3b+c \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=-2, \ b=6 \ c=1 \ }\)
よって求める余りは\(\small{ \ -2x^2+6x+1 \ }\)

point
完全平方式や因数分解できない式で割る場合、剰余の定理を利用した式だけだと条件式が足りないから、余りを求めることができないから、余りを完全平方式や因数分解できない式で割り算して係数比較しよう。

また割る式が与えられていない問題は常に商を\(\small{ \ Q(x) \ }\)っておくことになるから、式を\(\small{ \ P(x)=f(x)Q(x)+R(x) \ }\)の形で整理しよう。

Point

①\(\small{ \ p(x) \ }\)を\(\small{ \ x-a \ }\)で割った余りは\(\small{ \ P(a) \ }\)
②\(\small{ \ p(x) \ }\)を\(\small{ \ n \ }\)次式で割った余りは\(\small{ \ (n-1) \ }\)次式

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

多項式\(\small{ \ f(x) \ }\)を\(\small{ \ x^2+x+1 \ }\)で割ると\(\small{ \ x+2 \ }\)余り、\(\small{ \ x^2+1 \ }\)で割ると\(\small{ \ 1 \ }\)余る。\(\small{ \ f(x) \ }\)を\(\small{ \ (x^2+x+1)(x^2+1) \ }\)で割ったときの余りを求めよ。

条件より
\(\small{ \ f(x)=(x^2+x+1)Q_1(x)+x+2\cdots① \ }\)
\(\small{ \ f(x)=(x^2+1)Q_2(x)+1\cdots② \ }\)
\(\small{ \ f(x) \ }\)を\(\small{ \ (x^2+x+1)(x^2+1) \ }\)で割った余りを\(\small{ \ R(x) \ }\)とすると
\(\small{ \ R(x) \ }\)は\(\small{ \ x \ }\)の三次式である。
①②より
\(\small{ \ R(x)=(x^2+x+1)(ax+b)+x+2 \ }\)
\(\small{ \ R(x)=(x^2+1)(ax+c)+1 \ }\)
となるので

\(\small{ \ (x^2+x+1)(ax+b)+x+2=(x^2+1)(ax+c)+1 \ }\)
\(\small{ \ (a+b-c)x^2+(b+1)x+b-c+1=0 \ }\)

これがすべての\(\small{ \ x \ }\)で成り立つので
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a+b-c=0\\
b+1=0\\
b-c+1=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=1, \ b=-1, \ c=0 \ }\)
\(\small{ \ R(x)=(x^2+1)x+1=x^3+x+1 \ }\)
よって求める余りは\(\small{ \ x^3+x+1 \ }\)

point
条件式から求める余りをうまく文字を使っておくことを考えよう。

この問題では\(\small{ \ x^2+x+1 \ }\)と\(\small{ \ x^2+1 \ }\)の二次の項の係数がどちらも\(\small{ \ 1 \ }\)であることを利用して、余りを割った商を\(\small{ \ ax+b \ }\)と\(\small{ \ ax+c \ }\)として計算が簡単になるように工夫しているからね。

この記事が気に入ったら
いいね ! しよう

Twitter で

  複素数と方程式

  ,