順列と組み合わせの違い

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は順列と組み合わせの違いについて学習していこう。

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順列と組み合わせ

今回は順列や組み合わせの細かい条件のついた問題とかを学習するんじゃなくて、順列と組み合わせの違いをきちんと理解できるように話していくからね。

細かい条件のついた問題については、また別で話していくから、まずは順列と組み合わせについて理解して\(\small{ \ {}_n \mathrm{ P }_r \ }\)や\(\small{ \ {}_n \mathrm{ C }_r \ }\)の使い方を覚えていこう。

順列とは「異なる要素の中からいくつかの要素を選び、それを順に一列に並べる並べ方のこと」で、組み合わせとは「異なる要素の中からいくつかの要素を選ぶこと」になる。

この違いが問題を解く上で非常に重要なことだから、きちんと押さえておこう。

順列と組み合わせの違い

順列
異なる要素の中からいくつかの要素を選び、それを順に一列に並べる並べ方
\(\small{ \ {}_n \mathrm{ P }_r \ }\)とは\(\small{ \ n \ }\)個の中から\(\small{ \ r \ }\)個選んで並べるときの並べ方の数である

組み合わせ
異なる要素の中からいくつかの要素を選ぶこと
\(\small{ \ {}_n \mathrm{ C }_r \ }\)とは\(\small{ \ n \ }\)個の中から\(\small{ \ r \ }\)個選んだときの選び方の数である

順列

はじめにもいったけど、順列は 「異なる要素の中からいくつかの要素を選び、それを順に一列に並べる並べ方のこと」だからね。
この並べ方の数を求めるには、順列を英語にしたpermutation(パーミテーション)の頭文字\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)を記号にした\(\small{ \ {}_n \mathrm{ P }_r \ }\)を利用するんだ。
\(\small{ \ {}_n \mathrm{ P }_r \ }\)は\(\small{ \ n \ }\)個の中から\(\small{ \ r \ }\)個選んで並べるときの並べ方の数のことで、
\(\small{ \ {}_n \mathrm{ P }_r = \overbrace{ n \cdot ( n - 1 ) \cdots ( n - r + 1 ) }^{r個} \ }\)って式で\(\small{ \ n \ }\)から順に\(\small{ \ 1 \ }\)ずつ引いた数を\(\small{ \ r \ }\)個すべてを掛けた値になる。

記号だけ見ると分かりにくいから、例を挙げてみるね。
例えば青・赤・黒・白の\(\small{ \ 4 \ }\)色のボールが\(\small{ \ 1 \ }\)個ずつあるとき、この\(\small{ \ 4 \ }\)個の中から\(\small{ \ 3 \ }\)個を選んで並べる並べ方の数は\(\small{ \ 4\times3\times2=24 \ }\)通りになるよね。

これは一番左にどの色のボールを置くかって考えたとき\(\small{ \ 4 \ }\)色から選べて、その次は左に使ったボールを除いた\(\small{ \ 3 \ }\)色から選んで、最後に残りの\(\small{ \ 2 \ }\)色のボールから選ぶって式だよね。
これを順列の記号を使って\(\small{ \ {}_4 \mathrm{ P }_3 \ }\)って書くんだ。
\(\small{ \ 4 \ }\)色のボールのうち\(\small{ \ 3 \ }\)個選んで、一列に並べる並べ方の数だからね。

階乗

順列にはもう一つ覚えておきたい記号があって、それは\(\small{ \ n! \ }\)って記号なんだ。

これは\(\small{ \ {}_n \mathrm{ P }_n \ }\)のことで、その値は\(\small{ \ n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdots2\cdot1 \ }\)になる。
日本語にすると「\(\small{ \ n \ }\)個の中から\(\small{ \ n \ }\)個選んで並べるときの並べ方の数」ってことになるからね。
ちなみに\(\small{ \ n! \ }\)って書いて\(\small{ \ n \ }\)の階乗って読むからね。

あとテクニックとして\(\small{ \ 8!=8\cdot7\cdot6\cdot5! \ }\)って書けるから\(\small{ \ 5!=120 \ }\)(できれば\(\small{ \ 6!=720 \ }\)まで)を覚えておくと便利だから覚えておこう。
\(\small{ \ 4! \ }\)とかはすぐに計算できるから覚えておくまでもないけど、大きい数の階乗をいちいち全部計算してたら大変だからね。

階乗の記号を利用すると

\(\small{\begin{eqnarray} \ {}_n \mathrm{ P }_r&=& n \cdot ( n - 1 ) \cdots ( n - r + 1 ) \\
&=&\displaystyle\frac{ n \cdot ( n - 1 ) \cdots ( n - r + 1 )(n-r)\cdots2\cdot1 }{ (n-r)\cdots2\cdot1 }\\
&=&\displaystyle\frac{ n! }{ ( n - r )! } \ \end{eqnarray}}\)

って書けるからね。

組み合わせ

組み合わせは「異なる要素の中からいくつかの要素を選ぶこと」だからね。
この選び方の数を求めるには、組み合わせを英語にしたcombination(コンビネーション)の頭文字\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)を記号にした\(\small{ \ {}_n \mathrm{ C }_r \ }\)利用するんだ。
\(\small{ \ {}_n \mathrm{C }_r \ }\)は\(\small{ \ n \ }\)個の中から\(\small{ \ r \ }\)個選ぶときの選び方の数のことで、
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
{}_n \mathrm{ C }_r
= \displaystyle\frac{ \overbrace{ n \cdot ( n - 1 ) \cdots ( n - r + 1 ) }^{r個} }{ r! }
\end{eqnarray} \ }\)
ってかける。
\(\small{ \ n \ }\)から\(\small{ \ 1 \ }\)ずつ引いた\(\small{ \ r \ }\)個の数を全て掛けて、それを\(\small{ \ r \ }\)の階乗で割った値になるからね。

階乗の記号を利用して書けば

\(\small{ \ \begin{eqnarray}
{}_n \mathrm{ C }_r
= \displaystyle\frac{ n \cdot ( n - 1 ) \cdots ( n - r + 1 )}{ r! }
= \displaystyle\frac{ n! }{ r! ( n - r )! }
\end{eqnarray} \ }\)

って式になる。

\(\small{ \ {}_n \mathrm{P }_r=\displaystyle\frac{ n! }{( n - r )! } \ }\)だったから\(\small{ \ {}_n \mathrm{P }_r ={}_n \mathrm{C }_r\times r! \ }\)って書けるよね。

\(\small{ \ {}_n \mathrm{C }_r \ }\)が\(\small{ \ n \ }\)個の中から\(\small{ \ r \ }\)個選ぶ選び方の数で、\(\small{ \ r! \ }\)は\(\small{ \ r \ }\)個のものを順に列に並べる並べ方の数だから、これを掛けることで \(\small{ \ n \ }\)個の中から\(\small{ \ r \ }\)個選んで並べる並べ方の数、つまり\(\small{ \ {}_n \mathrm{P }_r \ }\)になることがわかるよね。

point
ちなみに
\(\small{ \ {}_n \mathrm{ C }_r\\
= \displaystyle\frac{ n \cdot ( n - 1 ) \cdots ( n - r + 1 )}{ r! }\\
= \displaystyle\frac{ n! }{ r! ( n - r )! }
\ }\)
だから\(\small{ \ \begin{eqnarray}
{}_n \mathrm{ C }_{r}
= \displaystyle\frac{ n! }{ r! ( n - r )! }
={}_n \mathrm{ C }_{n-r}
\end{eqnarray} \ }\)とも言えるよね。

日本語にすると「\(\small{ \ n \ }\)個の中から\(\small{ \ r \ }\)個選ぶ」ことと「\(\small{ \ n \ }\)個の中から取らない\(\small{ \ n-r \ }\)個選ぶ」ことは同じってことになるよね。

\(\small{ \ r \ }\)が\(\small{ \ n \ }\)の半分より大きい場合は計算が楽になるから\(\small{ \ \begin{eqnarray}
{}_n \mathrm{ C }_{r}
={}_n \mathrm{ C }_{n-r}
\end{eqnarray} \ }\)を使おう。

Point 順列と組み合わせの違い

①順列\(\small{ \ {}_n \mathrm{ P }_r \ }\)は選んで並べるときに利用する
②組み合わせ\(\small{ \ {}_n \mathrm{ C }_r \ }\)は選ぶときに利用する

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