順列と数字の並び方

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は順列と数字の並び方について学習していこう。

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順列と数字の並び方

前回の英字の並べ方と同様で、今回もすべて異なる数字の並び方について考えてみよう。
同じ数字を含む並べ方は、また別で考えるからね。

順列と数字の並び方

異なる数字の並び方
①偶数や奇数の並び方
②倍数の並び方
③ある数以上の並び方
④○は小さいほうから数えて△番目
⑤小さいほうから数えて△番目の数は○

偶数や奇数の並び方

偶数や奇数の並び方は下一桁に注目すればいいよね。下一桁が偶数なら偶数、奇数なら奇数になる。だからまずは条件部分の下一桁のところから考えよう。場合の数では条件の部分から考えるのが基本ね。

ただ、注意しないといけないのが\(\small{ \ 0 \ }\)の扱い。例えば「\(\small{ \ 4 \ }\)つの数を並べて\(\small{ \ 4 \ }\)桁の整数を作る」場合、最高位が\(\small{ \ 0 \ }\)だと\(\small{ \ 4 \ }\)桁にならないから注意しよう。最高位の数は\(\small{ \ 0 \ }\)以外の数字にならないといけないからね。

倍数の並び方

まずは倍数の条件を考えてみよう。
\(\small{ \ 2 \ }\)の倍数は下一桁が偶数
\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数は各位の和が\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数
\(\small{ \ 4 \ }\)の倍数は下二桁が\(\small{ \ 4 \ }\)の倍数
\(\small{ \ 5 \ }\)の倍数は下一桁が\(\small{ \ 0 \ }\)か\(\small{ \ 5 \ }\)
\(\small{ \ 6 \ }\)の倍数は各位の和が\(\small{ \ 3 \ }\)の倍数で下一桁が偶数

だいたい出題されるのはこのあたりかな。
倍数の条件をきちんと覚えて、条件部分から並び方を考えよう。

ある数以上の並び方

例えば\(\small{ \ 4 \ }\)桁の数で\(\small{ \ 3200 \ }\)より大きい数の個数を求める場合、まずは千の位が\(\small{ \ 3 \ }\)より大きい数がいくつあるか考えよう。
その次に千の位が\(\small{ \ 3 \ }\)で百の位が\(\small{ \ 2 \ }\)より大きい数の個数を考えていこう。
\(\small{ \ 3200 \ }\)だったら千の位が\(\small{ \ 3 \ }\)で百の位が\(\small{ \ 2 \ }\)で十や一の位が\(\small{ \ 0 \ }\)より大きい数もOKだよね。

つまり最高位から順に各桁の数によって場合を分けて個数を調べていこう

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 0,1,2,3,4,5,6 \ }\)の\(\small{ \ 7 \ }\)個の中から異なる\(\small{ \ 4 \ }\)つの数字を取り出して\(\small{ \ 4 \ }\)桁の整数を作るとき、次のような数はいくつあるか求めよ。
(1)整数
(2)偶数
(3)\(\small{ \ 5 \ }\)の倍数
(4)\(\small{ \ 3123 \ }\)より大きい数

(1)最高位は\(\small{ \ 0 \ }\)以外の数を選ぶので
\(\small{ \ 6\times {}_6\mathrm{P}_3=720 \ }\)

(2)偶数は下一桁が偶数である
①下一桁が\(\small{ \ 0 \ }\)の場合
 \(\small{ \ _6\mathrm{P}_3=120 \ }\)
②下一桁が\(\small{ \ 2,4,6 \ }\)の場合
 \(\small{ \ 5\times {}_5\mathrm{P}_2\times3=300 \ }\)
\(\small{ \ \therefore120+300=420 \ }\)

(3)\(\small{ \ 5 \ }\)の倍数は下一桁が\(\small{ \ 0 \ }\)か\(\small{ \ 5 \ }\)である
①下一桁が\(\small{ \ 0 \ }\)の場合
 \(\small{ \ _6\mathrm{P}_3=120 \ }\)
②下一桁が\(\small{ \ 5 \ }\)の場合
 \(\small{ \ 5\times {}_5\mathrm{P}_2=100 \ }\)
\(\small{ \ \therefore 120+100=220 \ }\)

point
問題文には書いてないけど、\(\small{ \ 0 \ }\)が最高位にならないっていうのも条件だから、この部分も先に考えるようにしよう。

小さいほうから並べる数字の順列

次は異なる数を使って小さい順に並べる順列の問題。
この問題には二つのパターンがある。

それは
○○○は小さいほうから数えて何番目の数か?
小さいほうから数えて○○番目の数は何か?」の二つ何だ。

ん、これって見覚えあるよね?

そう、これって辞書式配列の考え方と同じなんだ。
辞書式はアルファベット順だったからABCD・・・って並ぶけど、数字は\(\small{ \ 0123 \ }\)・・・って並ぶよね。
注意するのは\(\small{ \ 0 \ }\)が含まれていた場合、一番最初の位に\(\small{ \ 0 \ }\)になると桁が変わるから\(\small{ \ 0 \ }\)になるのは除くってところだけ。

まずは辞書式配列をしっかりマスターできていない人は、きちんと復習しておこう。

▼あわせてCHECK▼(別ウィンドウで開きます)

辞書式配列と同じで最高位の桁から順に考えていくことが重要だからね。
最高位の数が〇のとき何通りの数がある」ってところから、徐々に桁を下ろして、数字を絞っていこう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 0,1,2,3,4,5 \ }\)の\(\small{ \ 6 \ }\)個の中から異なる\(\small{ \ 4 \ }\)つの数字を取り出して\(\small{ \ 4 \ }\)桁の整数を作り、小さいほうから順に並べる。このとき次の問いに答えよ。
(1)\(\small{ \ 2354 \ }\)は何番目の数か。
(2)\(\small{ \ 200 \ }\)番目の数を求めよ。
(3)初めて\(\small{ \ 3000 \ }\)を超える最初の数はいくつか。
(4)(3)で求めた数は何番目の数か。

(1)\(\small{ \ 4 \ }\)桁の数より最高位は\(\small{ \ 0 \ }\)でない
千の位が\(\small{ \ 1 \ }\)の数は全部で\(\small{ \ _5\mathrm{P}_3 \ }\)通り
千の位が\(\small{ \ 2 \ }\)で百の位が\(\small{ \ 0 \ }\)の数は全部で\(\small{ \ _4\mathrm{P}_2 \ }\)通り
同様に千の位が\(\small{ \ 2 \ }\)で百の位が\(\small{ \ 1 \ }\)の数は全部で\(\small{ \ _4\mathrm{P}_2 \ }\)通り
千の位が\(\small{ \ 2 \ }\)で百の位が\(\small{ \ 3 \ }\)で十の位が\(\small{ \ 0 \ }\)の数は全部で\(\small{ \ _3\mathrm{P}_1 \ }\)通り
同様に千の位が\(\small{ \ 2 \ }\)で百の位が\(\small{ \ 3 \ }\)で十の位が\(\small{ \ 1 \ }\)の数は全部で\(\small{ \ _3\mathrm{P}_1 \ }\)通り
同様に千の位が\(\small{ \ 2 \ }\)で百の位が\(\small{ \ 3 \ }\)で十の位が\(\small{ \ 4 \ }\)の数は全部で\(\small{ \ _3\mathrm{P}_1 \ }\)通り
同様に千の位が\(\small{ \ 2 \ }\)で百の位が\(\small{ \ 3 \ }\)で十の位が\(\small{ \ 5 \ }\)の数は\(\small{ \ 2350,2351,2354 \ }\)の\(\small{ \ 3 \ }\)通り
よって求める答えは
\(\small{ \ _5\mathrm{P}_3 +{}_4\mathrm{P}_2\times2+{}_3\mathrm{P}_1\times4=96 \ }\)番目

(2)千の位が\(\small{ \ 1 \ }\)の数は全部で\(\small{ \ _5\mathrm{P}_3=60 \ }\)通り
同様に千の位が\(\small{ \ 2 \ }\)の数は全部で\(\small{ \ _5\mathrm{P}_3=60 \ }\)通り
同様に千の位が\(\small{ \ 3 \ }\)の数は全部で\(\small{ \ _5\mathrm{P}_3=60 \ }\)通り
千の位が\(\small{ \ 4 \ }\)で百の位が\(\small{ \ 0 \ }\)の数は全部で\(\small{ \ _4\mathrm{P}_2=12 \ }\)通り
千の位が\(\small{ \ 4 \ }\)で百の位が\(\small{ \ 1 \ }\)で十の位が\(\small{ \ 0 \ }\)の数は全部で\(\small{ \ _3\mathrm{P}_1=3 \ }\)通り
千の位が\(\small{ \ 4 \ }\)で百の位が\(\small{ \ 1 \ }\)で十の位が\(\small{ \ 2 \ }\)の数は全部で\(\small{ \ _3\mathrm{P}_1=3 \ }\)通り
ここまで\(\small{ \ 60\times3+12+3\times2=198 \ }\)
千の位が\(\small{ \ 4 \ }\)で百の位が\(\small{ \ 1 \ }\)で十の位が\(\small{ \ 3 \ }\)の数は\(\small{ \ 4130,4132, \ }\)・・・
よって求める答えは\(\small{ \ 4132 \ }\)

(3)\(\small{ \ 3000 \ }\)を超える最初の数は千の位が\(\small{ \ 3 \ }\)で残りの数は小さい順に並べればよいので
\(\small{ \ 3012 \ }\)

(4)千の位が\(\small{ \ 1 \ }\)の数は全部で\(\small{ \ _5\mathrm{P}_3=60 \ }\)通り
同様に千の位が\(\small{ \ 2 \ }\)の数は全部で\(\small{ \ _5\mathrm{P}_3=60 \ }\)通り
\(\small{ \ 3012 \ }\)はこの次の数になる
よって求める答えは\(\small{ \ 121 \ }\)番目

point
辞書式配列の問題と同じで、いきなり答えを求めるのは難しいから、最高位の数字が○で始まるは何通りあるっていうのを考えて、絞り込んでいこう。

Point 順列と数字の並び方

①\(\small{ \ 0 \ }\)が最高位にならないように注意する
②条件部分から式を考える
③小さい順の順列は最高位の数から順に絞り込む

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