解と係数の関係

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こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は解と係数の関係について学習していこう。

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解と係数の関係の利用

解と係数の関係はこの「複素数と方程式」以外の他の単元でも利用することが多い。
だから今回勉強してきちんと押さえておこう。

解と係数の関係

\(\small{ \ ax^2+bx+c=0 \ }\)の解を\(\small{ \ x=\alpha, \ \beta \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{b}{a}\\
\alpha\beta=\displaystyle\frac{c}{a}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

まずは解と係数の関係の証明を確認しておこう

解と係数の関係の利用

解と係数の関係は「方程式の係数」と「方程式の解」の関係式で、二次方程式だけじゃなく実数係数の高次方程式で利用することができる。

でも実際に入試に出題されるのは二次方程式と三次方程式の解と係数の関係だからこの二つの関係式をしっかりと押さえておこう。

また、解と係数の関係から方程式を作成させる問題も定期試験によく出題されるからきちんと確認しておこう。

例題を確認
問題解答

(1)\(\small{ \ 2 \ }\)次方程式\(\small{ \ x^2+px+8=0 \ }\)の\(\small{ \ 2 \ }\)つの解の差が\(\small{ \ 3 \ }\)であるとき、実数の定数\(\small{ \ p \ }\)の値を求めよ。
(2)\(\small{ \ 2 \ }\)次方程式\(\small{ \ x^2-p^2x-p=0 \ }\)の2つの解は\(\small{ \ x^2+px-1=0 \ }\)の\(\small{ \ 2 \ }\)つの解に、それぞれ\(\small{ \ 1 \ }\)を加えたものに等しいという。実数の定数\(\small{ \ p \ }\)の値を求めよ。

(1)\(\small{ \ 2 \ }\)次方程式\(\small{ \ x^2+px+8=0 \ }\)の解は\(\small{ \ \alpha \ }\)と\(\small{ \ \alpha+3 \ }\)とおける
解と係数の関係より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha+\alpha +3=-p\\
\alpha (\alpha +3)=8
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{ \ \alpha^2+3\alpha-8=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore \alpha=\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{3^2+32}}{2}=\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{41}}{2} \ }\)
\(\small{ \ p=2\alpha+3=\pm\sqrt{41} \ }\)

(2)\(\small{ \ x^2+px-1=0 \ }\)の解を\(\small{ \ x=\alpha, \ \beta \ }\)とする
解と係数の関係より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha+\beta=-p\cdots①\\
\alpha\beta=-1\cdots②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{ \ x^2-p^2x-p=0 \ }\)の解は\(\small{ \ x=\alpha+1, \ \beta+1 \ }\)となるので
解と係数の関係より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha+\beta+2=p^2\cdots③\\
(\alpha+1)(\beta+1)=-p\cdots④
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{①, \ ③ }\)より
\(\small{ \ p^2-2=-p \ }\)
\(\small{ \ p^2+p-2=0 \ }\)
\(\small{ \ (p+2)(p-1)=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore p=-2, \ 1 \ }\)
これは\(\small{ ②, \ ④ }\)も満たす。
よって\(\small{ \ p=-2, \ 1 \ }\)

point
文章題は方程式と解の関係を明確にしよう。
方程式が二つ与えらえてる場合は、どっちの解を基準にするのか問題文から正確に読み取ろう。

解と係数の関係と対称式

解と係数の関係は対称式としてもよく利用される。
対称式って何って人はもう一度復習しておこう。

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学校の定期試験でも大学入試問題でも解と係数の関係を利用する場合は、対称式になっているから求めたい値の式を基本対称式で表そう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 2x^2-4x+1=0 \ }\)の解を\(\small{ \ x=\alpha, \ \beta \ }\)とするとき、次の式の値を求めよ。
(1)\(\small{ \ \alpha^2\beta+\alpha\beta^2 \ }\)
(2)\(\small{ \ (\alpha-\beta)^2 \ }\)
(3)\(\small{ \ \alpha^3+\beta^3 \ }\)
(4)\(\small{ \ \displaystyle\frac{\alpha^2}{\beta}+\displaystyle\frac{\beta^2}{\alpha} \ }\)

\(\small{ \ \alpha+\beta=2 \ }\)
\(\small{ \ \alpha\beta=\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)
(1)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \alpha^2\beta+\alpha\beta^2&=&\alpha\beta(\alpha+\beta)\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}\cdot2\\
&=&1 \ \end{eqnarray}}\)

(2)
\(\small{\begin{eqnarray} \ (\alpha-\beta)^2&=&(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\\
&=&2^2-4\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\\
&=&2 \ \end{eqnarray}}\)

(3)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \alpha^3+\beta^3&=&(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\\
&=&2^3-3\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot2\\
&=&5 \ \end{eqnarray}}\)

(4)
\(\small{ \begin{eqnarray}\ \displaystyle\frac{\alpha^2}{\beta}+\displaystyle\frac{\beta^2}{\alpha}&=&\displaystyle\frac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha\beta}\\
&=&5\cdot2\\
&=&10 \ \end{eqnarray}}\)

point
与えられた関係式を全て基本対称式で表すことで簡単に問題が解けるから、まずは基本対称式で表すことを考えよう。

解と係数の関係をいつ使うか?

定期試験で「複素数と方程式」の単元が試験範囲なら問題文に「解を\(\small{ \ \alpha, \ \beta \ }\)とする」って書いてある問題もあって、解と係数の関係を利用するんだってすぐわかるよね。

でも大学入試や実力試験では「解を\(\small{ \ \alpha, \ \beta \ }\)とする」って書いてある問題はほとんどなくて、それを自分でおいて問題を解き進めていかないといけないんだ。

今回はそのことを踏まえて解と係数の関係をいつ利用するのかってことを少し考えてみよう。

例えば\(\small{ \ x^2-2x-8=0 \ }\)の解は\(\small{ \ x=4, \ -2 \ }\)だよね。
これだと解と係数の関係を利用しなくても直接解を代入したほうが計算も楽で早そうだよね。

それに対して\(\small{ \ x^2-ax+3a=0 \ }\)の解は\(\small{ \ x=\displaystyle\frac{a\pm\sqrt{a^2-12a}}{2} \ }\)になるから、この解を毎回式に記入するのはそれだけでも手間だよね。
しかも途中で書き間違いとかしそうだしね。

こういう場合に解と係数の関係というか解を\(\small{ \ \alpha, \ \beta \ }\)とおいて、毎回\(\small{ \ \displaystyle\frac{a\pm\sqrt{a^2-12a}}{2} \ }\)って書くのを省略するんだ。
そうすることで式も簡単にかけるよね。

そして問題文にもよるんだけど、計算している式や求めてる値は\(\small{ \ \alpha, \ \beta \ }\)って書いたまま進めていくと、解と係数の関係が利用できる形になる場合が多い。

本当は解の公式を使って複雑な式のまま書き進めても答えは出せるんだ。
だけど、\(\small{ \ \alpha, \ \beta \ }\)っておくことで書くのも簡単になって、さらに解と係数の関係を利用することにも気付けるから、より簡単に計算することができるんだ。

つまり方程式の解が複雑な問題では解を\(\small{ \ \alpha, \ \beta \ }\)として解くほうがいいんだ。

特に数学Ⅱの微分法や積分法や図形と方程式とかでよく使われるから、方程式の解が複雑な場合は解を\(\small{ \ \alpha, \ \beta \ }\)とおいて、解と係数の関係が使えるかもって思いながら問題を解き進めよう。

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Point 解と係数の関係

①解が複雑な式は解を\(\small{ \ \alpha, \ \beta \ }\)とおこう
②二次方程式や三次方程式では解と係数の関係を常に意識しておこう。

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