数の分類

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は数の分類について学習していこう。

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複素数・実数・虚数・有理数・無理数・分数・整数・自然数

高校数学では\(\small{ \ 2 \ }\)乗すると\(\small{ -1 \ }\)になる数\(\normalsize{ \ i \ }\)を数学Ⅱで初めて教わるんだけど、注意してほしいことがある。

それは
「この\(\small{ \ 2 \ }\)乗すると\(\small{-1 \ }\)になる数\(\normalsize{ \ i \ }\)は、この単元(複素数と方程式)で教わったからといって、今後ずっと使っていくわけじゃない」
ってこと。

この単元では\(\small{ \ 2 \ }\)乗すると\(\small{-1 \ }\)になる数\(\normalsize{ \ i \ }\)を取り扱うけど、今まで教わった数学Ⅰや数学A、それに数学Ⅱや数学Bの他の分野では実数までしか取り扱わない。
だから他の単元で\(\small{ \ x^2=-1 \ }\)ってなっても解なしってことになるから、それだけは絶対間違えないようにしてほしい。

「複素数の範囲で考えよ」って言われたり、数学Ⅲの「複素平面」で考える数ってことだからね。

数の分類

\(\small{ \ \begin{eqnarray}
複素数 \ \mathbb{ C } \
\begin{cases}
実数 \ \mathbb{ R } \
\begin{cases}
有理数 \ \mathbb{ Q } \ \begin{cases}
整数 \ \mathbb{ Z } \ \begin{cases}
自然数 \ \mathbb{ N } \ \\
0\\
負の整数
\end{cases}\\
\\
分数 \ \ \ \ \begin{cases}
有限少数 \\
無限循環少数
\end{cases}
\end{cases}\\
\\
\\
無理数
\end{cases}\\
\\
\\
\\
虚数
\end{cases}
\end{eqnarray} \ }\)

複素数

複素数っていうのは\(\small{ \ a+bi \ }\)(\(\small{ \ a, \ b \ }\)は実数)の形からなる数で、\(\small{ \ i \ }\)は\(\small{ \ i^2=-1 \ }\)で定義された数のこと.

高校数学ではこの複素数の範囲までの学習になるから、高校数学で利用するすべての数は複素数の形で表すことができるんだ。

実数と虚数

複素数は実数と虚数に分かれる。

複素数を教わったことのない人も実数は聞いたことあるよね。
実数とは今まで学習してきた数(整数や分数、根号を含む数など)のこと。
だから\(\small{ \ b=0 \ }\)のとき実数になるし、\(\small{ \ b\neq 0 \ }\)のとき虚数になる。

また\(\small{ \ a=0 \ }\)のとき\(\small{ \ 3i \ }\)のような形になる。
これを純虚数っていうからね。

有理数と無理数

実数は有理数と無理数に分かれる。

有理数とは\(\small{ \ \displaystyle \frac{p}{q} \ }\)(\(\small{ \ p, \ q \ }\)は整数で\(\small{ \ q\neq0 \ }\))の形で表すことができる数のこと

これに対し、無理数\(\small{ \ \displaystyle \frac{p}{q} \ }\)(\(\small{ \ p, \ q \ }\)は整数で\(\small{ \ q\neq0 \ }\))の形で表すことができない数ってことになる。

無理数は有名なところで\(\small{ \ \sqrt{2} \ }\)や\(\small{ \ \pi \ }\)がある。
ただ、高校数学の命題と証明で「無理数と無理数を足すと無理数になるか」や「無理数と無理数をかけると有理数になるか」ってことを聞かれるけど、\(\small{ \ \sqrt{2}+1, \ \sqrt{2}-1 \ }\)の場合や\(\small{ \ \sqrt{3}, \ \sqrt{2} \ }\)の場合で答えは異なるから覚えておこう。

整数と分数

有理数は整数と分数に分かれる。

ただし、ここでの分数は既約分数(分母と分子の最大公約数が\(\small{ \ 1 \ }\)の分数)にすると分母が\(\small{ \ 1 \ }\)でないもの、つまり整数以外の有理数ってことになる。だって整数は既約分数にすると分母が\(\small{ \ 1 \ }\)になるからね。

有限小数と循環無限小数

分数を小数で表すと有限小数と循環無限小数に分かれる。

循環無限小数っていうのは\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{3}=0.3333\cdots \ }\)のように同じで数が繰り返される小数のことで\(\small{ \ 0.\dot{3} \ }\)のような書き方をするからね。これは中学生で教わるから知ってるよね。

ちなみに\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{7}=0.142857142857\cdots \ }\)だと\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7} \ }\)って書き方になるからね。

実数の連続性

数直線を考えると有理数(整数と分数)が数直線上にたくさん並んでるよね。でも有理数である分数の分母を大きくして数を小さくしても、有理数と有理数の間には隙間があるんだ。

この隙間を埋めるのが無理数で、有理数と無理数を合わせることで数直線上の点はすべて埋め尽くされるからね。

これで実数はすべて連続しているってことも言えるんだ。

自然数と整数

整数は正の整数と\(\small{ \ 0 \ }\)と負の整数に分かれるんだ。

特に正の整数のことを自然数っていうからね。聞いたことあるよね。

自然数ってよく問題文にもでてくるから正の整数のって覚えておこう。よく\(\small{ \ 0 \ }\)以上の整数って間違えて覚えている人もいるからね。

point
複素数全体の集合を\(\small{ \ \mathbb{ C } \ }\)、実数全体の集合を\(\small{ \ \mathbb{ R } \ }\)、有理数全体の集合を\(\small{ \ \mathbb{ Q } \ }\)、整数全体の集合を\(\small{ \ \mathbb{ Z } \ }\)、自然数全体の集合を\(\small{ \ \mathbb{ N } \ }\)って書くからね。

だからこの記号を使うと「\(\small{ \ x \ }\)が整数である」は「\(\small{ \ x \in\mathbb{ Z } \ }\)」って書ける。

また、今回は問題を用意してないけど、知識として絶対頭に入れておこう。

Point

①複素数とは実数と虚数をまとめたもの
②実数は有理数と無理数に分かれる

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