異なる2つの項の積の和

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は異なる2つの項の積の和について学習していこう。

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展開の公式を利用

異なる2つの項の積の和を求める問題なんだけど、これから学ぶ解法を知らないとなかなか自分で解答を作り上げるのは難しいから、異なる2つの項の積の和を作り出す方法を覚えておこう。

異なる2つの項の積の和の作り方

\(\small{\begin{eqnarray} \ (a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n)^2={a_1}^2&+&{a_2}^2+\cdots+{a_n}^2\\
&+&2(a_1a_2+a_1a_3+\cdots+a_1a_n+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n) \ \end{eqnarray}}\)

異なる\(\small{ \ 2 \ }\)項の積の和を\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)とすると

\(\small{ \ \mathrm{S}=a_1a_2+a_1a_3+\cdots+a_1a_n+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n \ }\)

\(\small{ \ \left(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k\right)^2=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k^2+2\mathrm{S} \ }\)

この式は
\(\small{ \ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab \ }\)

\(\small{ \ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \ }\)
\(\small{ \ (a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \ }\)

のようによく利用する展開の公式を応用して異なる2つの項の積の和を作り出しているんだ。

\(\small{ \ \mathrm{S} =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 }a_k\displaystyle \sum_{ j = k+1 }^{ n } a_j \ }\)

\(\small{ \ \mathrm{S}=a_1a_2+a_1a_3+\cdots+a_1a_n+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n \ }\)

を\(\small{ \ \displaystyle \sum_{}^{} \ }\)を利用して表そうとすると\(\small{ \ \mathrm{S} =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 }a_k\displaystyle \sum_{ j = k+1 }^{ n } a_j \ }\)のように書くことができる。
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ j = k+1 }^{ n } a_j=a_{k+1}+\cdots+a_n \ }\)になるから

\(\small{ \ \mathrm{S} =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 }a_k(a_{k+1}+a_{k+2}+\cdot+a_n) \ }\)
\(\small{ \ =a_1(a_{2}+a_{3}+\cdots+a_n)+a_2(a_{3}+a_{4}+\cdots+a_n)+\cdots+a_{n-1}a_n \ }\)

となるのがわかるよね。この方法でももちろん答えを出すことは出来るけど、非常に面倒なんだ。だから展開の公式を利用して簡単に答えを出すことを覚えておこう。

例題を確認
問題解答

数列\(\small{ \ 1、3、5、\cdots、2n-1 \ }\)において次の積の和を求めよ。
(1)異なる\(\small{ \ 2 \ }\)項の積の和
(2)互いに隣接しない異なる\(\small{ \ 2 \ }\)項の積

(1)求める和を\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)とすると
\(\small{ \ \left(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k\right)^2=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k^2+2\mathrm{S} \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (2k-1)=n^2 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }{a_k}^2=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (4k^2-4k+1)=\displaystyle \frac{n(4n^2-1)}{3} \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle \frac{1}{2}\left(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k\right)^2-\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k^2 \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \frac{1}{2}\left(n^4-\displaystyle \frac{n(4n^2-1)}{3}\right)\\
=\displaystyle \frac{1}{6}n(3n^3-4n^2+1) \ }\)
(2)隣り合う\(\small{ \ 2 \ }\)項の積は
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } a_ka_{k+1}=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1} (2k-1)(2k+1) \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 }(4k^2-1)=\displaystyle \frac{1}{3}(n-1)(4n^2-2n-3) \ }\)
よって求める値は
\(\small{ \ \mathrm{S}-\displaystyle \frac{1}{3}(n-1)(4n^2-2n-3)\\
=\displaystyle \frac{1}{2}(n-1)(n-2)(n^2-n-1) \ }\)

point
互いに隣接しない項の和は、互いに隣接する項を求めて、それを全体から引いて求めよう。

Point

①数列の異なる2項の積は\(\small{ \ \left(\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k\right)^2=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k^2+2\mathrm{S} \ }\)から導き出す

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

初項\(\small{ \ a \ }\)、公比\(\small{ \ r \ }\)、項数\(\small{ \ n \ }\)の等比数列がある。この数列の異なる\(\small{ \ 2 \ }\)項の積の和を求めよ。ただし、各項は異なるものとする。

求める数を\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)とすると

\(\small{ \ (a+ar+\cdots+ar^{n-1})^2=(a^2+a^2r^2+\cdots+a^2r^{2n-2})+2\mathrm{S} \ }\)

\(\small{ \ \left\{\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}\right\}^2=\displaystyle \frac{a^2(1-r^{2n})}{1-r^2}+2\mathrm{S} \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}&=&\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}\right\}^2-\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\displaystyle \frac{a^2(1-r^{2n})}{1-r^2}\\
&=&\displaystyle \frac{a^2r(1-r^n)(1-r^{n-1})}{(1-r)^2(1+r)} \ \end{eqnarray}}\)

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