組合せのいろいろな式

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は組合せのいろいろな式について学習していこう。

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組合せの式と式変形・階乗の利用

組合せの式にはいくつか有名な式があるから、それを証明していこう。
だけどその前に、組合せの\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)と順列の\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)について混同している人は再度以前の記事でチェックしておこう。

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組合せの計算と式変形

\(\small{ \ \begin{eqnarray}
{}_n \mathrm{ C }_r
= \displaystyle\frac{ \overbrace{ n \cdot ( n - 1 ) \cdots ( n - r + 1 ) }^{r個} }{ r! }
\end{eqnarray} \ }\)
\(\small{ \ {}_n \mathrm{ C }_{r}={}_n \mathrm{ C }_{n-r} \ }\)
\(\small{ \ {}_n \mathrm{ C }_{r}={}_{n-1} \mathrm{ C }_{r}+{}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} \ }\)
\(\small{ \ r{}_n \mathrm{ C }_{r}=n{}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} \ }\)

組合せ

組合せって「異なる要素の中からいくつかの要素を選ぶこと」だったよね。
この選び方の数を求めるには、組合せを英語にしたcombination(コンビネーション)の頭文字\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)を記号にした\(\small{ \ {}_n \mathrm{ C }_r \ }\)利用して考えていこう。
\(\small{ \ {}_n \mathrm{C }_r \ }\)は\(\small{ \ n \ }\)個の中から\(\small{ \ r \ }\)個選ぶときの選び方の数のことで、
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
{}_n \mathrm{ C }_r
= \displaystyle\frac{ \overbrace{ n \cdot ( n - 1 ) \cdots ( n - r + 1 ) }^{r個} }{ r! }
\end{eqnarray} \ }\)
ってかける。
\(\small{ \ n \ }\)から\(\small{ \ 1 \ }\)ずつ引いた\(\small{ \ r \ }\)個の数を全て掛けて、それを\(\small{ \ r \ }\)の階乗で割った値になるからね。

階乗の記号を利用して書けば

\(\small{ \ \begin{eqnarray}
{}_n \mathrm{ C }_r
= \displaystyle\frac{ n \cdot ( n - 1 ) \cdots ( n - r + 1 )}{ r! }
= \displaystyle\frac{ n! }{ r! ( n - r )! }
\end{eqnarray} \ }\)

って式になる。

これって\(\small{ \ r \ }\)を\(\small{ \ n-r \ }\)に変えた式も同じものだよね。

\(\small{ \ \begin{eqnarray}
{}_n \mathrm{ C }_{n-r}
= \displaystyle\frac{ n! }{ ( n - r )!r! }
\end{eqnarray} \ }\)

つまり\(\small{ \ {}_n \mathrm{ C }_{r}={}_n \mathrm{ C }_{n-r} \ }\)になるんだ。
でも確かにそうだよね。日本語にすると、『\(\small{ \ n \ }\)個の中から\(\small{ \ r \ }\)個取る』と『\(\small{ \ n \ }\)個の中から取らない\(\small{ \ n-r \ }\)を選ぶ』って同じことだもんね。

組合せの式変形(1)

次に\(\small{ \ {}_n \mathrm{ C }_{r}={}_{n-1} \mathrm{ C }_{r}+{}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} \ }\)について考えてみよう。
階乗を利用して計算すると右辺は
\(\small{ \ {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r}+{}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1}\\[8pt] =\displaystyle \frac{(n-1)!}{r!(n-1-r)!}+\displaystyle \frac{(n-1)!}{(r-1)! \ (n-r)!}\\
=\displaystyle \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r-1)!}\left(\displaystyle \frac{1}{r}+\displaystyle \frac{1}{n-r}\right)\\
=\displaystyle \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r-1)!}\cdot\displaystyle \frac{n}{r(n-r)}\\
=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\[8pt] ={}_n \mathrm{ C }_{r} \ }\)

\(\small{ \ \therefore \ {}_n \mathrm{ C }_{r}={}_{n-1} \mathrm{ C }_{r}+{}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} \ }\)

この式を日本語にして考えてみると、『\(\small{ \ n \ }\)個の中から\(\small{ \ r \ }\)個選ぶ』は『①特定の\(\small{ \ 1 \ }\)個を含む場合、残りの\(\small{ \ n-1 \ }\)個から\(\small{ \ r-1 \ }\)個選ぶ』と『②特定の\(\small{ \ 1 \ }\)個を含まない場合、それを除いた\(\small{ \ n-1 \ }\)個から\(\small{ \ r \ }\)選ぶ』に分けることができるよね。

組合せの式変形(2)

次に\(\small{ \ r{}_n \mathrm{ C }_{r}=n{}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} \ }\)について考えてみよう。
階乗を利用して計算すると
\(\small{ \ r{}_n \mathrm{ C }_{r}\\
=r\cdot\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\
=\displaystyle \frac{n(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}\\
=n\cdots\displaystyle \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}\\
=n{}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} \ }\)

\(\small{ \ \therefore \ r{}_n \mathrm{ C }_{r}=n{}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} \ }\)

この式を具体的に日本語にして考えてよう。
\(\small{ \ 40 \ }\)人のクラスから\(\small{ \ 10 \ }\)人選抜して、その選抜された\(\small{ \ 10 \ }\)人の中から\(\small{ \ 1 \ }\)人代表者を選ぶ選び方は『\(\small{ \ 40 \ }\)人から\(\small{ \ 10 \ }\)人選んで、その\(\small{ \ 10 \ }\)人から\(\small{ \ 1 \ }\)人選ぶ\(\small{ \ {}_{40} \mathrm{ C }_{10}\times 10 \ }\)通り』あるよね。
でもこれは、『まずは代表者を\(\small{ \ 40 \ }\)人の中から選んで、その人を除いた\(\small{ \ 39 \ }\)人の中から残りの\(\small{ \ 9 \ }\)人を選ぶ\(\small{ \ 40\times {}_{39} \mathrm{ C }_{9} \ }\)通り』でもいいよね。

この計算は期待値を求めるΣの問題でよく使われるかな。でも期待値が数学Aの指導要領から外れてからは、ほとんど見ることはなくなったけどね。

point
コンビネーションの計算式だと二項定理や二項係数が有名だから、一度チェックしておこう。
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Point 組合せのいろいろな式

①\(\small{ \ {}_n \mathrm{ C }_{r}={}_n \mathrm{ C }_{n-r} \ }\)
②\(\small{ \ {}_n \mathrm{ C }_{r}={}_{n-1} \mathrm{ C }_{r}+{}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} \ }\)
③\(\small{ \ r{}_n \mathrm{ C }_{r}=n{}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} \ }\)

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