組立除法の仕組みと使い方

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は組立除法の仕組みと使い方について学習していこう。

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組立除法とは

組立除法とは多項式\(\small{ \ P(x) \ }\)を一次式\(\small{ \ x-k \ }\)で割ったときの商\(\small{ \ Q(x) \ }\)と余り\(\small{ \ R \ }\)を簡単に求めることが出来る計算方法のこと

整式の割り算でも代用することができるけど、組立除法の方が楽で早く計算できるから組立除法を使っていない人は使いこなせるように練習しよう。

組立除法

\(\small{ \ ax^3+bx^2+cx+d=(x-k)(lx^2+mx+n)+R \ }\)のとき

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
l=a\\
m=b+lk\\
n=c+mk\\
R=d+nk
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

組立除法-00

組立除法のやり方

\(\small{ \ a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4 \ }\)を\(\small{ \ x-k \ }\)で割った商と余りを組立除法で計算してみよう。
まずは一行目に割られる式の係数\(\small{ \ a_1, \ a_2, \ a_3, \ a_4 \ }\)を書き、その右に\(\small{ \ k \ }\)を書こう。

組立除法-01

組立除法の仕組み

組立除法の計算がなぜ成り立つのか考えてみよう。

\(\small{ \ ax^3+bx^2+cx+d \ }\)を\(\small{ \ x-k \ }\)で割った商を\(\small{ \ lx^2+mx+n \ }\)、余りを\(\small{ \ R \ }\)とすると

\(\small{ \ ax^3+bx^2+cx+d=(x-k)(lx^2+mx+n)+R \ }\)が成り立つ。

右辺を展開して整理すると

\(\small{\begin{eqnarray} \ ax^3+bx^2+cx+d&=&(x-k)(lx^2+mx+n)+R\\
&=&lx^3+(m-lk)x^2+(n-mk)x+R-nk \ \end{eqnarray}}\)

係数を比較して
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a=l\\
b=m-lk\\
c=n-mk\\
d=R-nk
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
よって
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
l=a\\
m=b+lk\\
n=c+mk\\
R=d+nk
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
が成り立つ。

組立除法-00

この式は、組立除法の計算が成り立つことを示しているよね。

組立除法の利用(基本)

\(\small{ \ (x^3-7x-6)\div (x+2) \ }\)の商と余りを組立除法で求めてみよう。
一行目に割られる式の係数\(\small{ \ 1, \ 0, \ -7, \ -6 \ }\)を書き、その右に\(\small{ \ -2 \ }\)を書こう。

一番左の\(\small{ \ 1 \ }\)はそのまま下に下ろす。
\(\small{ \ 1\times(-2) \ }\)を\(\small{ \ 0 \ }\)の下に書き、\(\small{ \ 0 \ }\)と\(\small{ \ -2 \ }\)の和をその下に書く。
更に\(\small{ \ -2\times(-2) \ }\)を\(\small{ \ -7 \ }\)の下に書き、\(\small{ \ -7 \ }\)と\(\small{ \ 4 \ }\)の和をその下に書く。
更に\(\small{ \ -3\times(-2) \ }\)を\(\small{ \ -6 \ }\)の下に書き、\(\small{ \ -6 \ }\)と\(\small{ \ 6 \ }\)の和をその下に書く。

組立除法-02

これで一番下の行にある数\(\small{ \ 1, \ -2, \ -3, \ 0 \ }\)から、商が\(\small{ \ x^2-2x-3 \ }\)、余りが\(\small{ \ 0 \ }\)ってことが分かる。
つまり\(\small{ \ (x^3-7x-6)=(x+2)(x^2-2x+3) \ }\)が成り立つんだ。

組立除法の利用(分数の場合)

\(\small{ \ (8x^3-4x^2-10x-1)\div (2x+1) \ }\)の商と余りを計算しよう。
この計算の場合、割る一次式の係数が\(\small{ \ 1 \ }\)でじゃないから分数を代入することになるよね。
この場合、最後に工夫が必要になるから注意しよう。

\(\small{\begin{eqnarray} \ 8x^3-4x^2-10x-1&=&(2x+1)Q(x)+R\\[8pt] &=&\left(x+\displaystyle\frac{1}{2}\right)2Q(x)+R \ \end{eqnarray}}\)

つまり組立除法で得られる式は\(\small{ \ 2Q(x) \ }\)になる。
だから最後にこの式を\(\small{ \ 2 \ }\)で割ることで商を求めることができるからね。

組立除法-03

割る一次式の係数が\(\small{ \ 1 \ }\)じゃないときに組立除法を利用する場合は注意して答えを出そう。

point
数学はただ解けるだけじゃダメで、早くミスなく解く必要があるよね。整式の割り算でいつも計算している人は、組立除法を使えるように練習しておこう。
慣れたら絶対こっちのほうが早く計算できるようになるからね。

Point 組立除法の仕組みと使い方

①組立除法は必ずマスターしよう

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