空間ベクトルと同一平面上の点

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は空間ベクトルと同一平面上の点について学習していこう。

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同一平面上にあるベクトルの条件

空間中の\(\small{ \ 3 \ }\)点を通る平面があるとき、別の\(\small{ \ 4 \ }\)点目がその平面上にあるかっていう条件こそ今回学習するポイントになるからきちんと理解しておこう。

空間ベクトルと同一平面上の点

\(\small{ \ 4 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A, \ B, \ C, \ D} \ }\)が同一平面上にある
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)を満たす\(\small{ \ s, \ t \ }\)が存在する
空間ベクトルと同一平面上の点-01
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}} \ }\)のとき\(\small{ \ 4 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A, \ B, \ C, \ D} \ }\)が同一平面上にあるなら\(\small{ \ s+t+u=1 \ }\)
空間ベクトルと同一平面上の点-02

4点が同一平面にある

空間中に\(\small{ \ 3 \ }\)点があると、その\(\small{ \ 3 \ }\)点を通る平面って必ず\(\small{ \ 1 \ }\)つ存在する
つまり\(\small{ \ 3 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A, \ B, \ C} \ }\)があるとすると\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)はその平面上にあるベクトルってことになるよね。

平面ベクトルの基本で学習したけど、平面ベクトルは平行でない基準のベクトル\(\small{ \ 2 \ }\)つを利用することで、平面上のベクトルを表すことができたよね。

▼あわせてCHECK▼(別ウィンドウで開きます)

これを利用して空間ベクトルでも空間中の平面の上にある\(\small{ \ 2 \ }\)つのベクトルを利用することでその平面上にあるベクトルを表すことができるんだ。

このことから「\(\small{ \ 4 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A, \ B, \ C, \ D} \ }\)が同一平面上にある」って言うのは、「\(\small{ \ 3 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A, \ B, \ C} \ }\)を通る平面上に点\(\small{ \ \mathrm{D} \ }\)がある」って考えればいいんだ。

つまりベクトルを利用すると
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)を満たす\(\small{ \ s, \ t \ }\)が存在するなら\(\small{ \ 4 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A, \ B, \ C, \ D} \ }\)が同一平面上にあるって言えるんだ。

空間ベクトルと同一平面上の点-01

例題を確認
問題解答

次の\(\small{ \ 4 \ }\)点が同じ平面上にあるように定数\(\small{ \ a \ }\)の値を求めよ。
\(\small{ \ \mathrm{A}(3, \ 1, \ 2) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B}(4, \ 2, \ 3) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{C}(5, \ 2, \ 5) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{D}(-2, \ -1, \ a) \ }\)

同一平面上にあるとき
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)が成り立つ
\(\small{\begin{eqnarray} \ (-5, \ -2, \ a-2)&=&s(1, \ 1, \ 1)+t(2, \ 1, \ 3)\\
&=&(s+2t, \ s+t, \ s+3t) \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
s+2t=-5\\
s+t=-2\\
s+3t=a-2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\ }\)
これを解いて\(\small{ \ s=1, \ t=-3, \ a=-6 \ }\)

係数の和が1になる

\(\small{ \ 4 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A, \ B, \ C, \ D} \ }\)が同一平面上にある」って言うのは、「\(\small{ \ 3 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A, \ B, \ C} \ }\)を通る平面上に点\(\small{ \ \mathrm{D} \ }\)がある」って考えれば良かったから上では\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)が言えれば\(\small{ \ 4 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A, \ B, \ C, \ D} \ }\)ってしたけど、基準のベクトルを\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)から始まるベクトルにしても問題ないんだ。

つまり\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{CD}}=s\overrightarrow{\mathrm{CA}}+t\overrightarrow{\mathrm{CB}} \ }\)ってことね。
これを\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)から始まるベクトルに変えてみよう。

\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right)+t\left(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right) \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+(1-s-t)\overrightarrow{\mathrm{OC}} \ }\)
\(\small{ \ 1-s-t=u \ }\)ってすると
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}} \ }\)で
\(\small{ \ s+t+u=1 \ }\)になるんだ。

空間ベクトルと同一平面上の点-02

つまり\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}} \ }\)のとき、\(\small{ \ s+t+u=1 \ }\)なら\(\small{ \ 4 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A, \ B, \ C, \ D} \ }\)が同一平面上にあるって言えるんだ。

例題を確認
問題解答1解答2

四面体\(\small{ \ \mathrm{ABCD} \ }\)がある。\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)を\(\small{ \ 1:2 \ }\)に、\(\small{ \ \mathrm{AC} \ }\)を\(\small{ \ 2:1 \ }\)に、\(\small{ \ \mathrm{AD} \ }\)を\(\small{ \ 1:1 \ }\)に内分する点をそれぞれ\(\small{ \ \mathrm{L, \ M, \ N} \ }\)とする。
\(\small{ \ \triangle\mathrm{BCD} \ }\)の重心\(\small{ \ \mathrm{G} \ }\)と\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)を結ぶ線分が平面\(\small{ \ \mathrm{LMN} \ }\)と交わる点を\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)とする。\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AP}} \ }\)を\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \ }\),\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\),\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AD}} \ }\)を用いて表せ。

空間ベクトルと同一平面上の点-03

\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AL}}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}} \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AN}}=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AD}} \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{\mathrm{AG}}&=&\displaystyle\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}}{3}\\
&=&\overrightarrow{\mathrm{AL}}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AN}} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{\mathrm{AP}}&=&k\overrightarrow{\mathrm{AG}}\\
&=&k\overrightarrow{\mathrm{AL}}+\displaystyle\frac{1}{2}k\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\displaystyle\frac{2}{3}k\overrightarrow{\mathrm{AN}} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ k+\displaystyle\frac{1}{2}k+\displaystyle\frac{2}{3}k=1 \ }\)
\(\small{ \ k=\displaystyle\frac{6}{13} \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\displaystyle\frac{6}{13}\overrightarrow{\mathrm{AL}}+\displaystyle\frac{3}{13}\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\displaystyle\frac{4}{13}\overrightarrow{\mathrm{AN}} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\displaystyle\frac{2}{13}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\displaystyle\frac{2}{13}\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\displaystyle\frac{2}{13}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)

\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AL}}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}} \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AN}}=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AD}} \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{\mathrm{AG}}&=&\displaystyle\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}}{3}\\
&=&\displaystyle\frac{3\overrightarrow{\mathrm{AL}}+\displaystyle\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AM}}+2\overrightarrow{\mathrm{AN}}}{3}\\
&=&\displaystyle\frac{3+\displaystyle\frac{3}{2}+2}{3}\cdot\displaystyle\frac{3\overrightarrow{\mathrm{AL}}+\displaystyle\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AM}}+2\overrightarrow{\mathrm{AN}}}{3+\displaystyle\frac{3}{2}+2}\\
&=&\displaystyle\frac{13}{6}\cdot\displaystyle\frac{6\overrightarrow{\mathrm{AL}}+3\overrightarrow{\mathrm{AM}}+4\overrightarrow{\mathrm{AN}}}{13} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\displaystyle\frac{6\overrightarrow{\mathrm{AL}}+3\overrightarrow{\mathrm{AM}}+4\overrightarrow{\mathrm{AN}}}{13} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\displaystyle\frac{2}{13}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\displaystyle\frac{2}{13}\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\displaystyle\frac{2}{13}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)

point
係数を足して\(\small{ \ 1 \ }\)にするっていうのは平面ベクトルでもあったよね。平面ベクトルのときは線上ってだったけど、空間ベクトルのときは平面上になる。合わせて復習しておこう。
▼あわせてCHECK▼(別ウィンドウで開きます)

Point 空間ベクトルと同一平面上の点

①\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)を満たす\(\small{ \ s, \ t \ }\)が存在するなら\(\small{ \ 4 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A, \ B, \ C, \ D} \ }\)が同一平面上にある
②\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}} \ }\)のとき\(\small{ \ s+t+u=1 \ }\)なら\(\small{ \ 4 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A, \ B, \ C, \ D} \ }\)が同一平面上にある

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ \def\cenBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\cenbox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }} \ }\)空間に\(\small{ \ 4 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A}(2, \ 1, \ 3) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B}(-3, \ 1, \ 5) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{C}(4, \ 2, \ 1) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{D}(8, \ 5, \ 2x-5) \ }\)があり、この\(\small{ \ 4 \ }\)点は同一平面上にある。\(\small{ \ 2 \ }\)直線\(\small{ \ \mathrm{BC} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{AD} \ }\)の交点を\(\small{ \ \mathrm{E} \ }\)とおく。このとき
(i)\(\small{ \ x=\displaystyle\frac{\cenbox{アイ}}{\cenbox{ウ}} \ }\)である
(ii)\(\small{ \ \triangle\mathrm{ACE} \ }\)の面積は\(\small{ \ \displaystyle\frac{ \cenbox{エ}\sqrt{\cenbox{オカ}}}{\cenbox{キク}} \ }\)である。

(i)
\(\small{ \ 4 \ }\)点\(\small{ \ \mathrm{A, \ B, \ C, \ D} \ }\)が同じ平面上にあるとき、
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ }\)(\(\small{ \ s, \ t \ }\))は実数)で表されるので
\(\small{\begin{eqnarray} \ (6, \ 4, \ 2x-8)&=&s(-5, \ 0, \ -8)+t(2, \ 1, \ -2)\\
&=&(-5s+2t, \ t, \ -8s-2t) \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
-5s+2t=6\\
t=4\\
-8s-2t=2x-8
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\ }\)
これを解いて\(\small{ \ s=\displaystyle\frac{2}{5}, \ t=4, \ x=-\displaystyle\frac{8}{5} \ }\)

(ii)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{\mathrm{AD}}&=&\displaystyle\frac{2}{5}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+4\overrightarrow{\mathrm{AC}}\\
&=&\displaystyle\frac{22}{5}\cdot\displaystyle\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}+10\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{11}\\
&=&\displaystyle\frac{22}{5}\overrightarrow{\mathrm{AE}} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \mathrm{E} \ }\)は線分\(\small{ \ \mathrm{BC} \ }\)を\(\small{ \ 10:1 \ }\)に内分する点で
\(\small{ \ \triangle\mathrm{ACD}=\displaystyle\frac{1}{11}\triangle\mathrm{ABC} \ }\)

空間ベクトルと同一平面上の点-04

\(\small{\begin{eqnarray} \ \triangle\mathrm{ABC}&=&\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\vert\overrightarrow{\mathrm{AB}}\vert^2\vert\overrightarrow{\mathrm{AC}}\vert^2-\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)^2}\\
&=&\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{89\cdot9-6^2}\\
&=&\displaystyle\frac{3\sqrt{85}}{2} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \therefore \triangle\mathrm{ABC}=\displaystyle\frac{3\sqrt{85}}{22} \ }\)

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