空間ベクトルと外積

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は空間ベクトルと外積について学習していこう。

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外積とは

外積って高校数学では教わらないけど、外積を覚えていたら計算や検算が簡単にできることってすごく多いから、理系で数学を二次試験に必要とする受験生は是非覚えておこう。

外積

\(\small{ \ \vec{a}=(a_1, \ a_2, \ a_3) \ }\)、\(\small{ \ \vec{b}=(b_1, \ b_2, \ b_3) \ }\)のとき

\(\small{ \ \vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2, \ a_3b_1-a_1b_3, \ a_1b_2-a_2b_1) \ }\)

\(\small{ \ \left(
\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{array}
\right)\times\left(
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
a_2b_3-a_3b_2 \\
a_3b_1-a_1b_3 \\
a_1b_2-a_2b_1
\end{array}
\right)
\ }\)

外積-0

外積

外積とは二つのベクトルに対して、ベクトルに対応させる値のことを言うんだ。
\(\small{ \ \vec{a}=(a_1, \ a_2, \ a_3) \ }\)、\(\small{ \ \vec{b}=(b_1, \ b_2, \ b_3) \ }\)の二つのベクトルの外積は記号で\(\small{ \ \vec{a}\times\vec{b} \ }\)と書いて、その外積の値は

\(\small{ \ \vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2, \ a_3b_1-a_1b_3, \ a_1b_2-a_2b_1) \ }\)になる。

つまり外積の値はベクトルになるってことなんだ。

外積の性質

この外積のベクトルと\(\small{ \ \vec{a} \ }\)、\(\small{ \ \vec{b} \ }\)それぞれの内積を計算してみよう。

\(\small{ \ \vec{a}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\\
=a_1(a_2b_3-a_3b_2)+a_2(a_3b_1-a_1b_3)+a_3(a_1b_2-a_2b_1)\\
=0 \ }\)

つまり\(\small{ \ \vec{a} \ }\)と\(\small{ \ \vec{a}\times\vec{b} \ }\)は垂直ってことが言えるよね。

同じように

\(\small{ \ \vec{b}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\\
=b_1(a_2b_3-a_3b_2)+b_2(a_3b_1-a_1b_3)+b_3(a_1b_2-a_2b_1)\\
=0 \ }\)

\(\small{ \ \vec{b} \ }\)と\(\small{ \ \vec{a}\times\vec{b} \ }\)も垂直になるんだ。

つまり\(\small{ \ \vec{a} \ }\)と\(\small{ \ \vec{b} \ }\)の外積は\(\small{ \ \vec{a} \ }\)、\(\small{ \ \vec{b} \ }\)それぞれに垂直なベクトルってことになるんだ。

外積の大きさ

外積の大きさについて考えてみよう。
\(\small{ \ \vec{a}=(a_1, \ a_2, \ a_3) \ }\)、\(\small{ \ \vec{b}=(b_1, \ b_2, \ b_3) \ }\)のとき外積は\(\small{ \ \vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2, \ a_3b_1-a_1b_3, \ a_1b_2-a_2b_1) \ }\)になるから、その大きさは各成分を二乗すればいいよね。

\(\small{ \ \vert\vec{a}\times\vec{b}\vert^2\\[10pt] =(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2\\[10pt] =a^2_2b^2_3-2a_2a_3b_2b_3+a^2_3b^2_2+a^2_3b^2_1-2a_1a_3b_1b_3+a^2_1b^2_3+a^2_1b^2_3-2a_1a_2b_1b_2+a^2_2b^2_1\\[10pt] =a^2_1(b^2_2+b^2_3)+a^2_2(b^2_1+b^2_3)+a^2_3(b^2_1+b^2_3)-2(a_1a_2b_1b_2+a_2a_3b_2b_3+a_1a_3b_1b_3)\\[10pt] =a^2_1(b^2_1+b^2_2+b^2_3)+a^2_2(b^2_1+b^2_2+b^2_3)+a^2_3(b^2_1+b^2_2+b^2_3)-(a^2_1b^2_1+a^2_2b^2_2+a^2_3b^2_3)-2(a_1a_2b_1b_2+a_2a_3b_2b_3+a_1a_3b_1b_3)\\[10pt] =(a^2_1+a^2_2+a^2_3)(b^2_1+b^2_2+b^2_3)-\left\{(a_1b_1)^2+(a_2b_2)^2+(a_3b_3)^2+2(a_1b_1)(a_2b_2)+2(a_1b_1)(a_3b_3)+(a_2b_2)(a_3b_3)\right\}\\[10pt] =(a^2_1+a^2_2+a^2_3)(b^2_1+b^2_2+b^2_3)-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2\\[10pt] \ }\)

\(\small{=\vert\vec{a}\vert^2\vert\vec{b}\vert^2-\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)^2\\[10pt] =\vert\vec{a}\vert^2\vert\vec{b}\vert^2\left\{1-\left(\displaystyle\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}\right)^2\right\}\\[10pt] =\vert\vec{a}\vert^2\vert\vec{b}\vert^2(1-\cos^2\theta)\\[10pt] =\vert\vec{a}\vert^2\vert\vec{b}\vert^2\sin^2\theta\\[10pt] \therefore \vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta \ }\)

外積-0

これは\(\small{ \ \vec{a} \ }\)と\(\small{ \ \vec{b} \ }\)で作られる平行四辺形の面積の大きさと同じ大きさになるんだ。

外積の向き

外積が\(\small{ \ \vec{a} \ }\)と\(\small{ \ \vec{b} \ }\)に垂直になるってことがわかったけど、\(\small{ \ \vec{a} \ }\)と\(\small{ \ \vec{b} \ }\)に垂直なベクトルって二つあるよね。
実は外積って向きが決まってるから\(\small{ \ \vec{a}\times\vec{b} \ }\)と\(\small{ \ \vec{b}\times\vec{a} \ }\)は同じじゃないんだ。

\(\small{ \ \vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2, \ a_3b_1-a_1b_3, \ a_1b_2-a_2b_1) \ }\)

これに対して
\(\small{\begin{eqnarray} \ \vec{b}\times\vec{a}&=&(b_2a_3-b_3a_2, \ b_3a_1-b_1a_3, \ b_1a_2-b_2a_1)\\&=&-(a_2b_3-a_3b_2, \ a_3b_1-a_1b_3, \ a_1b_2-a_2b_1)\\&=&-\left(\vec{a}\times\vec{b}\right) \ \end{eqnarray}}\)
つまり\(\small{ \ \vec{a}\times\vec{b} \ }\)と\(\small{ \ \vec{b}\times\vec{a} \ }\)は逆向きのベクトルってことが言えるよね。

この向きがどうなっているかというと、物理を選択している人はわかると思うけど「右ネジの法則」の向きになるんだ。中学でも教わってるかな。先に書くベクトルから後に書くベクトルの方に右手を回すとき、立てた親指の向きが外積の向きになるから覚えておこう。

外積-1

ただ高校数学では二つのベクトルに垂直なベクトルの成分がわかればいいから、向きはそんなに気にしなくても大丈夫なんだけどね。

外積の覚えた方と成分の縦表示

高校数学の場合ベクトルの成分表示は\(\small{ \ (x, \ y, \ z) \ }\)のように横に並べて書くけど、大学で数学を勉強する場合\(\small{ \ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}
\right)
\ }\)って縦に書く。
縦に書くことによって内積や外積もより計算しやすくなるからね。
実は高校の先生でも進学校なんかじゃ縦に書く先生って多いんだ。

内積は横同士をかけて加えればいいよね。
\(\small{ \ \left(
\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{array}
\right)\cdot\left(
\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{array}
\right)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
\ }\)

外積は少しわかりにくいけど、クロスさせて足す引くを規則的に書けばいいから、規則を覚えて、外積を覚えよう。

外積-3

外積の各成分は、\(\small{ \ \vec{a} \ }\)と\(\small{ \ \vec{b} \ }\)のその成分を以外の値から成り立ってるからね。

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