空間ベクトルと直線の方程式

(1)直線\(\small{ \ \displaystyle\frac{x-3}{2}=\displaystyle\frac{y-1}{3}=-z+2 \ }\)と平面\(\small{ \ 2x-3y+z-11=0 \ }\)との交点の座標を求めよ。

(2)\(\small{ \ \mathrm{P}(1, \ 4, \ 5) \ }\)から直線\(\small{ \ \displaystyle\frac{x-3}{2}=\displaystyle\frac{y-1}{3}=-z+2 \ }\)に垂線\(\small{ \ \mathrm{PH} \ }\)を下ろす。このとき\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)の座標を求めよ。

(1)\(\small{ \ \displaystyle\frac{x-3}{2}=\displaystyle\frac{y-1}{3}=-z+2=t \ }\)とすると、
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=2t+3\\
y=3t+1\\
z=-t+2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\ }\)
これを直線の方程式に代入して

\(\small{ \ -6t-6=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore t=-1 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray} \ (x, \ y, \ z)&=&(2t+3, \ 3t+1, \ -t+2)\\
&=&(1, \ -2, \ 3) \ \end{eqnarray}}\)

(2)\(\small{ \ \displaystyle\frac{x-3}{2}=\displaystyle\frac{y-1}{3}=-z+2=t \ }\)とすると、
\(\small{ \ \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=2t+3\\
y=3t+1\\
z=-t+2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\ }\)
つまり直線上の点\(\small{ \ \mathrm{P}(x, \ y, \ z)=(2t+3, \ 3t+1, \ -t+2) \ }\)とおける
\(\small{\begin{eqnarray} \ \overrightarrow{\mathrm{PH}}&=&(1, \ 4, \ 5)-(2t+3, \ 3t+1, \ -t+2)\\
&=&(-2t-2, \ -3t+3, \ t+3) \ \end{eqnarray}}\)
また直線の方程式を変形して、
\(\small{\begin{eqnarray} \ (x, \ y, \ z)&=&(2t+3, \ 3t+1, \ -t+2)\\
&=&(3, \ 1, \ 2)+t(2, \ 3, \ -1) \ \end{eqnarray}}\)
直線の方向ベクトルと\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{PH}} \ }\)が垂直になればよい
\(\small{ \ (-2t-2, \ -3t+3, \ t+3)\cdot(2, \ 3, \ -1)=0 \ }\)
\(\small{ \ 2(-2t-2)+3(-3t+3)-(t+3)=0 \ }\)
\(\small{ \ -14t+2=0 \ }\)
\(\small{ \ t=\displaystyle\frac{1}{7} \ }\)
\(\small{ \ (x, \ y, \ z)=\left(\displaystyle\frac{23}{7}, \ \displaystyle\frac{10}{7}, \ \displaystyle\frac{13}{7}\right) \ }\)

座標空間における次の\(\small{ \ 3 \ }\)つの直線\(\small{ \ l, \ m, \ n \ }\)を考える。
\(\small{ \ l \ }\)は点\(\small{ \ \mathrm{A}(1, \ 0, \ -2) \ }\)を通り、ベクトル\(\small{ \ \overrightarrow{u}=(2, \ 1, \ -1) \ }\)に平行な直線である。
\(\small{ \ m \ }\)は点\(\small{ \ \mathrm{B}(1, \ 2, \ 3) \ }\)を通り、ベクトル\(\small{ \ \overrightarrow{v}=(1, \ -1, \ 1) \ }\)に平行な直線である。
\(\small{ \ n \ }\)は点\(\small{ \ \mathrm{C}(1, \ -1, \ 0) \ }\)を通り、ベクトル\(\small{ \ \overrightarrow{w}=(1, \ 2, \ 1) \ }\)に平行な直線である。
\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)を\(\small{ \ l \ }\)上の点として、\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)から\(\small{ \ l, \ m \ }\)へ下ろした垂線の足をそれぞれ\(\small{ \ \mathrm{Q, \ R} \ }\)とする。
このとき\(\small{ \ \mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2 \ }\)を最小にするような\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)と、そのときの\(\small{ \ \mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2 \ }\)を求めよ。

直線\(\small{ \ l, \ m, \ n \ }\)のベクトル方程式はそれぞれ

つまり\(\small{ \ \mathrm{P}(1+2p, \ p, \ -2-p) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{Q}(1+q, \ 2-q, \ -3+q) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{R}(1+r, \ -1+2r, \ r) \ }\)とおける。
これより

\(\small{ \ \mathrm{PQ}\perp m \ }\)から\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{v}=0 \ }\)

\(\small{ \ 3q-3=0 \ }\)より\(\small{ \ q=1 \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{PR}\perp n \ }\)から\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{PR}}\cdot \overrightarrow{w}=0 \ }\)

\(\small{ \ -3p+6r=0 \ }\)より\(\small{ \ p=2r \ }\)
したがって
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(1-4r, \ 1-2r, \ 2r) \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{PR}}=(-3r, \ -1, \ 2+3r) \ }\)
となるので

よって\(\small{ \ r=0 \ }\)のとき最小値\(\small{ \ 7 \ }\)
このとき\(\small{ \ p=0 \ }\)より\(\small{ \ \mathrm{P}(1, \ 0, \ -2) \ }\)