三次関数の極大値・極小値(極値)と解と係数の関係

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三次関数の極大値・極小値(極値)と解と係数の関係について学習していこう。

スポンサードリンク

三次関数の極大値と極小値の和・差と解と係数の関係

三次関数\(\small{ \ f(x) \ }\)を微分すると、\(\small{ \ f'(x) \ }\)は二次関数になって\(\small{ \ f'(x)=0 \ }\)とすると、この式は二次方程式になるから解と係数の関係が利用できるよね。

しかもこの解が極大値や極小値をとる値になるから、極大値と極小値を一緒に利用する問題では解と係数の関係が利用できる。

導関数と解と係数の関係

\(\small{ \ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \ }\)のとき
\(\small{ \ f'(x)=3ax^2+2bx+c \ }\)

\(\small{ \ f(x) \ }\)が極値を持つためには\(\small{ \ f'(x)=0 \ }\)が異なる解を二つ持たないといけないので
\(\small{ \ D=(2b)^2-4\cdot 3a \cdot c \gt 0 \ }\)

ここで異なる二つの解を\(\small{ \ \alpha, \ \beta \ }\)とすると
解と係数の関係より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha+\beta=-\displaystyle \frac{2b}{3a}\\
\alpha\beta=\displaystyle \frac{c}{3a}\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
となる。

また、解を二つ持つから判別式が正になることも忘れないようにしよう。

数学Ⅱの微分法では、二次方程式の解と係数の関係を利用するけど、三次方程式の解と係数の関係も、他の単元で利用するからきちんと覚えておこう。

極大値と極小値の和と解と係数の関係

\(\small{ \ f(x) \ }\)を\(\small{ \ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \ }\)、極大値と極小値をとる\(\small{ \ x \ }\)の値を\(\small{ \ \alpha, \ \beta \ }\)とする。
このとき極大値と極小値の和は

\(\small{ \ f(\alpha)+f(\beta)=a(\alpha^3+\beta^3)+b(\alpha^2+\beta^2)+c(\alpha+\beta)+2d \ }\)になる。

この\(\small{ \ f(\alpha)+f(\beta) \ }\)は\(\small{ \ \alpha \ }\)と\(\small{ \ \beta \ }\)を入れ替えても同じ式になるから対称式になるよね。つまりこの式の\(\small{ \ \alpha \ }\)と\(\small{ \ \beta \ }\)の部分は基本対称式の\(\small{ \ \alpha+\beta \ }\)と\(\small{ \ \alpha\beta \ }\)で表すことができるんだ。

対称式について理解していない人は、もう一度対称式について学習しておこう。きちんと理解しておかないと使いたい時に使うことができないからね。
非常に便利な式だから必ず使えるようにしておこう。

例題を確認
問題解答

3次関数\(\small{ \ f(x)=x^3+ax^2+bx \ }\)が\(\small{ \ x=\alpha, \ \beta \ }\)で極値をもつ。\(\small{ \ \mathrm{A}(\alpha, \ f(\alpha)) \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{B}(\beta, \ f(\beta)) \ }\)とするとき、線分\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)の中点\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)は曲線\(\small{ \ y=f(x) \ }\)上にあることを示せ。

\(\small{ \ f'(x)=3x^2+2ax+b \ }\)
\(\small{ \ f'(x)=0 \ }\)とすると\(\small{ \ x=\alpha, \ \beta \ }\)より
解と係数の関係から
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}\alpha+\beta=-\displaystyle \frac{2}{3}a\\
\alpha\beta=\displaystyle \frac{b}{3}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

中点\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)の座標は
\(\small{ \ \left(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}, \ \displaystyle \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}\right) \ }\)より
\(\small{ \ f\left(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\displaystyle \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} \ }\)が成り立てば
線分\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)の中点\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)は曲線\(\small{ \ y=f(x) \ }\)上にある。

\(\small{ \ f\left(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\right)\\
=\left(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^3+a\left(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2+b\left(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\right)\\
=\left(-\displaystyle \frac{1}{3}a\right)^3+a\left(-\displaystyle \frac{1}{3}a\right)^2+b\left(-\displaystyle \frac{1}{3}a\right)\\
=\displaystyle \frac{2}{27}a^3-\displaystyle \frac{ab}{3} \ }\)

 

\(\small{ \ \displaystyle \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}\\
=\displaystyle \frac{\alpha^3+\beta^3+a(\alpha^2+\beta^2)+b(\alpha+\beta)}{2}\\
=\displaystyle \frac{(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)+a\left\{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\right\}+b(\alpha+\beta)}{2}\\
=\displaystyle \frac{1}{2}\left\{\left(-\displaystyle \frac{2}{3}a\right)^3-3\displaystyle \frac{b}{3}\left(-\displaystyle \frac{2}{3}a\right)+a\left(-\displaystyle \frac{2}{3}a\right)^2-2a\displaystyle \frac{b}{3}+b\left(-\displaystyle \frac{2}{3}a\right)\right\}\\
=\displaystyle \frac{2}{27}a^3-\displaystyle \frac{ab}{3} \ }\)

よって
\(\small{ \ f\left(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\displaystyle \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} \ }\)より
線分\(\small{ \ \mathrm{AB} \ }\)の中点\(\small{ \ \mathrm{C} \ }\)は曲線\(\small{ \ y=f(x) \ }\)上にある

point
解と係数を利用することで、\(\small{ \ f'(x)=0 \ }\)の解を代入しなくて済んだよね。
解が整数とか簡単な分数なら代入してもいいけど、定数を含んだり、根号を含んだりしてると計算するの本当に大変だし、計算ミスの可能性もかなり高くなるからね。
計算ミスをしないようになるべく工夫した簡単な計算方法を覚えよう。

極大値と極小値の差と解と係数の関係

\(\small{ \ f(x) \ }\)を\(\small{ \ f(x)=a^3+bx^2+cx+d \ }\)、極大値と極小値をとる\(\small{ \ x \ }\)の値を\(\small{ \ \alpha, \ \beta \ }\)とする。
このとき、極大値と極小値の差は

\(\small{ \ |f(\alpha)-f(\beta)|=|a(\alpha^3-\beta^3)+b(\alpha^2-\beta^2)+c(\alpha-\beta)| \ }\)になる。

上の式では絶対値をつけてるけど、実際は\(\small{ \ a \ }\)が正なら極大より極小の方が右側にあることが言えるし、\(\small{ \ a \ }\)が負なら極大より極小の方が左側にあることが言えるから、問題文に合わせて絶対値記号を外そう。

計算するときは、\(\small{ \ \alpha-\beta \ }\)でくくり出して整理していくことを考えよう。
このとき、\(\small{ \ \alpha-\beta \ }\)の符号は、\(\small{ \ a \ }\)の符号によるから注意しよう。いつでも正ってわけじゃないからね。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ f(x)=x^3+ax^2+bx+c \ }\)が\(\small{ \ x=p \ }\)で極大値をとり、\(\small{ \ x=q \ }\)で極小値をとるとき、極大値と極小値の差を\(\small{ \ p, \ q \ }\)で表せ。また\(\small{ \ a, \ b \ }\)でも表せ。

\(\small{ \ f(x)=x^3+ax^2+bx+c \ }\)より
\(\small{ \ f'(x)=3x^2+2ax+b \ }\)

\(\small{ \ x=p \ }\)で極大値をとり、\(\small{ \ x=q \ }\)で極小値をとるので
\(\small{ \ f'(x)=0 \ }\)のとき\(\small{ \ x=p, \ q \ }\)

解と係数の関係より
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
p+q=-\displaystyle \frac{2a}{3}\\
pq=\displaystyle \frac{b}{3}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

\(\small{ \ f(p)-f(q)=p^3-q^3+a(p^2-q^2)+b(p-q)\\[3pt] =(p-q)\left\{p^2+pq+q^2+a(p+q)+b\right\} \ }\)

\(\small{ \ a=-\displaystyle \frac{3}{2}(p+q) \ }\)
\(\small{ \ b=3pq \ }\)を代入すると

\(\small{ \ f(p)-f(q)\\[3pt] =(p-q)\left\{p^2+pq+q^2+a(p+q)+b\right\}\\[3pt] =(p-q)\left\{p^2+pq+q^2-\displaystyle \frac{3}{2}(p+q)^2+3pq\right\}\\[3pt] =-\displaystyle \frac{1}{2}(p-q)^3 \ }\)

また、\(\small{ \ p-q\\[3pt] =-\sqrt{(p+q)^2-4pq}\\[3pt] =-\sqrt{\left(-\displaystyle \frac{2a}{3}\right)^2-4\cdot\displaystyle \frac{b}{3}}\\[3pt] =\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{a^2-3b} \ }\)より
\(\small{ \ f(p)-f(q)=-\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left( \displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{a^2-3b}\right)^3\\[3pt] =\displaystyle \frac{4}{27}\sqrt{(a^2-3b)^3} \ }\)

point
\(\small{ \ |f(\alpha)-f(\beta)| \ }\)は\(\small{ \ \alpha=\beta \ }\)のとき\(\small{ \ 0 \ }\)になるから、\(\small{ \ \alpha-\beta \ }\)でくくり出せることがわかるよね。少しでも工夫しながら問題文を解いていこう。

Point

①極大極小の和や差は\(\small{ \ f'(x)=0 \ }\)の解と係数の関係を利用
②\(\small{ \ x^3 \ }\)の係数によって極大と極小の位置関係が決定

この記事が気に入ったら
いいね ! しよう

Twitter で

  微分法

  , ,