内積の成分表示

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は内積の成分表示について学習していこう。

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内積の成分表示の問題をマスターしよう

平面ベクトルの成分表示とその解き方」で話したように、成分表示されているベクトルの問題は成分表示のまま解いていくのが基本だから、成分を使って内積や大きさを表して問題を解こう。

平面ベクトルの内積

\(\small{ \ \overrightarrow{ a }=(a_1, \ a_2) \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{ b }=(b_1, \ b_2) \ }\)のとき
\(\small{ \ \overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ b }=a_1b_1+a_2b_2 \ }\)

\(\small{ \ \overrightarrow{ a } \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{ b } \ }\)が垂直
\(\small{ \ \overrightarrow{ a }\cdot \overrightarrow{ b }=0 \ }\)
\(\small{ \ a_1b_1+a_2b_2=0 \ }\)

\(\small{ \ \overrightarrow{ a } \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{ b } \ }\)が平行
\(\small{ \ \overrightarrow{ a }\cdot \overrightarrow{ b }=\pm|\overrightarrow{ a }||\overrightarrow{ b }| \ }\)
\(\small{ \ a_1b_2-a_2b_1=0 \ }\)

余弦定理とベクトルの内積

数学Ⅰの図形と計量で余弦定理を学習したけど、これをベクトルで考えてみよう。
\(\small{ \ \triangle \mathrm{OAB} \ }\)の\(\small{ \ \angle \mathrm{AOB}= \theta \ }\)のとき
余弦定理は
\(\small{ \ \mathrm{AB}^2= \mathrm{OA}^2+ \mathrm{OB}^2-2 \mathrm{OA}\mathrm{OB}\cos \theta \ }\)
になるから、これをベクトルにすると
\(\small{ \ |\overrightarrow{ \mathrm{AB} }|^2= |\overrightarrow{ \mathrm{OA} }|^2+|\overrightarrow{ \mathrm{OB} }|^2-2|\overrightarrow{ \mathrm{OA} }||\overrightarrow{ \mathrm{OB} }|\cos \theta \ }\)
になるよね。

内積の定義は
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OA} }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{OB} }=|\overrightarrow{ \mathrm{OA} }||\overrightarrow{ \mathrm{OB} }|\cos \theta \ }\)
だから

\(\small{ \ |\overrightarrow{ \mathrm{AB} }|^2= |\overrightarrow{ \mathrm{OA} }|^2+|\overrightarrow{ \mathrm{OB} }|^2-2\overrightarrow{ \mathrm{OA} }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{OB} }\cdots① \ }\)
になる。

\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OA} }=(a_1, \ a_2) \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OB} }=(b_1, \ b_2) \ }\)とすると、
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{AB} }= \overrightarrow{ \mathrm{OB} }- \overrightarrow{ \mathrm{OA} }=(b_1-a_1, \ b_2-a_2) \ }\)

\(\small{ \ |\overrightarrow{ \mathrm{OA} }|= \sqrt{a_1^2+a_2^2} \ }\)
\(\small{ \ |\overrightarrow{ \mathrm{OB} }|= \sqrt{b_1^2+b_2^2} \ }\)
\(\small{ \ |\overrightarrow{ \mathrm{AB} }|= \sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2} \ }\)

これを \(\small{①}\)に代入すると

\(\small{ \ (b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2= (a_1^2+a_2^2)+(b_1^2+b_2^2)-2\overrightarrow{ \mathrm{OA} }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{OB} } \ }\)

これを整理して
\(\small{ \ \overrightarrow{ \mathrm{OA} }\cdot \overrightarrow{ \mathrm{OB} }=a_1b_1+a_2b_2 \ }\)
が導けるんだ。

垂直な二つのベクトルの内積は\(\small{ \ 0 \ }\)

垂直なベクトルがなす角は\(\small{ \ 90^{\circ} \ }\)。
\(\small{ \ \cos90^{\circ}=0 \ }\)だから内積は\(\small{ \ 0 \ }\)になる。

\(\small{ \ \cos\theta=\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} \ }\)から
\(\small{ \ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0 \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{ a }=(a_1, \ a_2) \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{ b }=(b_1, \ b_2) \ }\)のとき
\(\small{ \ a_1b_1+a_2b_2=0 \ }\)

問題文に「垂直」って言葉が出てきたら常に内積が\(\small{ \ 0 \ }\)になることを考えよう。

平行な二つのベクトルの内積

平行なベクトルのなす角は\(\small{ \ 0^{\circ} \ }\)か\(\small{ \ 180^{\circ} \ }\)だから、\(\small{ \ \cos0^{\circ}=1 \ }\)、\(\small{ \ \cos180^{\circ}=-1 \ }\)。

だから内積は
\(\small{ \ \displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\pm1 \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{ a }=(a_1, \ a_2) \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{ b }=(b_1, \ b_2) \ }\)のとき
\(\small{ \ a_1b_1+a_2b_2=\pm\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2} \ }\)

両辺を\(\small{ \ 2 \ }\)乗して
\(\small{ \ (a_1b_1+a_2b_2)^2=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) \ }\)
\(\small{ \ (a_1b_2-a_2b_1)^2=0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore a_1b_2-a_2b_1=0 \ }\)

つまり平行な二つのベクトルはベクトルの向きにかかわらず\(\small{ \ a_1b_2-a_2b_1=0 \ }\)が成り立つんだ。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ \overrightarrow{ a }=(4, \ 2) \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{ b }=(3,\ -1) \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{ x }=(p, \ q) \ }\)とする。
\(\small{ \ \overrightarrow{ x } \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{ b } - \overrightarrow{ a } \ }\)は平行で\(\small{ \ \overrightarrow{ x }- \overrightarrow{ b } \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{ a } \ }\)は垂直であるとき、\(\small{ \ \overrightarrow{ p } \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{ q } \ }\)の値を求めよ。

\(\small{ \ \overrightarrow{ b }- \overrightarrow{ a }=(-1, \ -3) \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{ x } \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{ b } - \overrightarrow{ a } \ }\)は平行なので
\(\small{ \ -q+3p=0\cdots① \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{ x }- \overrightarrow{ b }=(p-3, \ q+1) \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{ x }- \overrightarrow{ b } \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{ a } \ }\)は垂直なので
\(\small{ \ 4(p-3)+2(q+1)=0 \ }\)
\(\small{ \ 2p+q-5=0\cdots② \ }\)
\(\small{ \ ①② }\)より
\(\small{ \ p=1, \ q=3 \ }\)

point
成分表示の問題は成分の値を求めるために方程式を立てる必要があるよね。

だから「求める数がいくつあるか」「そのために式がいくつ必要なのか」ってことを頭に入れながら問題を考えるようにしよう。

連立方程式さえ作れれば後は解くだけだもんね。

Point

①成分表示のベクトルは内積や大きさも成分の数値を使って表そう
②垂直と平行の成分の式をきちんと覚えておこう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ xy \ }\)平面上のベクトル\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1, \ 1) \ }\)と\(\small{ \ 30^{\circ} \ }\)の角をなす大きさが\(\small{ \ 1 \ }\)のベクトルを\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(a, \ b) \ }\)とする。\(\small{ \ a+b \ }\)と\(\small{ \ ab \ }\)の値を求め、次に\(\small{ \ a\lt b \ }\)のとき、ベクトル\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)を求めよ。ただし\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)は座標の原点である。

\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1, \ 1) \ }\)、\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(a, \ b) \ }\)、\(\small{ \ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1 \ }\)より
\(\small{ \ a^2+b^2=1 \ }\)
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \ }\)と\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ }\)のなす角は\(\small{ \ 30^{\circ} \ }\)より
\(\small{ \ \cos30^{\circ}=\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=\displaystyle \frac{a+b}{\sqrt{2}\cdot 1} \ }\)
\(\small{ \ \therefore a+b=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2} \ }\)
この式を両辺\(\small{ \ 2 \ }\)乗すると
\(\small{ \ a^2+2ab+b^2=\displaystyle \frac{3}{2} \ }\)
\(\small{ \ a^2+b^2=1 \ }\)より
\(\small{ \ ab=\displaystyle \frac{1}{4} \ }\)

\(\small{ \ a, \ b \ }\)は\(\small{ \ t^2-\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}t+\displaystyle \frac{1}{4}=0 \ }\)の二つの解になるので
\(\small{ \ t=\displaystyle \frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{4} \ }\)
\(\small{ \ a \lt b \ }\)より
\(\small{ \ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\left(\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, \ \displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right) \ }\)

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