2次不等式の解き方

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は2次不等式の解き方について学習していこう。

スポンサードリンク

2次不等式の解き方

2次不等式の解き方はまず\(\small{ \ x^2\ }\)の係数を正にして下に凸にすることから始めよう。下に凸のグラフと\(\small{ \ x \ }\)軸との交点を調べて大小関係を考えればいいからね。

2次不等式の解き方

\(\small{ \ ax^2+bx+c\gt 0 \ }\)
・\(\small{ \ (x-\alpha)(x-\beta)\gt 0 \ }\)のとき
\(\small{ \ x\lt \alpha, \ x \gt \beta \ }\)
・\(\small{ \ (x-\alpha)(x-\beta)\lt 0 \ }\)のとき
\(\small{ \ \alpha \lt x \lt \beta \ }\)

2次不等式-01

まずは下に凸の形にしよう

下に凸にすることによって\(\small{ \ f(x)\gt0 \ }\)か\(\small{ \ f(x)\lt0 \ }\)のときの答えの形が\(\small{ \ f(x)\gt0 \ }\)なら\(\small{ \ x\lt \alpha, \ x \gt \beta \ }\)の二つに分かれる形だし、\(\small{ \ f(x)\lt0 \ }\)なら\(\small{ \ \alpha \lt x \lt \beta \ }\)のはさまれる形になるから、常に下に凸の形にしてから考えよう。上に凸も考えると\(\small{ \ f(x)\gt0 \ }\)なら\(\small{ \ x\lt \alpha, \ x \gt \beta \ }\)の形みたいにできなくなるからね。ただ不等式の両辺にマイナスをかけると不等号の向きが変わることに注意しておこう。

接するときは特に注意しよう

\(\small{ \ (x-a)^2\geqq0 \ }\)なら\(\small{ \ x \ }\)はすべての実数になるけど、\(\small{ \ (x-a)^2\gt0 \ }\)なら\(\small{ \ x \ }\)は\(\small{ \ a \ }\)以外の実数になる。\(\small{ \ (x-a)^2\leqq0 \ }\)なら\(\small{ \ x=a \ }\)だけど、\(\small{ \ (x-a)^2\lt0 \ }\)なら解なしになるからね。これはグラフと\(\small{ \ x \ }\)軸の関係から考えて答えを出さないといけないね。接する場合は注意して答えをだそう。

2次不等式-02

例題を確認
問題解答

次の二次不等式を解け。
(1)\(\small{ \ x^2-3x+2\lt0 \ }\)
(2)\(\small{ \ x^2-9\gt0 \ }\)
(3)\(\small{ \ x^2-4x+4 \gt 0 \ }\)
(4)\(\small{ \ x^2-3x-1\lt0 \ }\)

(1)\(\small{ \ x^2-3x+2\lt0 \ }\)
\(\small{ \ (x-2)(x-1)\lt0 \ }\)
\(\small{ \ 1\lt x \lt 2 \ }\)

(2)\(\small{ \ x^2-9\gt0 \ }\)
\(\small{ \ (x-3)(x+3)\gt0 \ }\)
\(\small{ \ x\lt-3, \ x\gt3 \ }\)

(3)\(\small{ \ x^2-4x+4 \gt 0 \ }\)
\(\small{ \ (x-2)^2\gt0 \ }\)
\(\small{ \ x\neq2 \ }\)

(4)\(\small{ \ x^2-3x-1\lt0 \ }\)
\(\small{ \ x^2-3x-1=0 \ }\)とすると
\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{13}}{2} \ }\)より
\(\small{ \ \displaystyle \frac{3-\sqrt{13}}{2} \lt x \lt \displaystyle \frac{3+\sqrt{13}}{2} \ }\)

point
因数分解できない場合は一度\(\small{ \ f(x)=0 \ }\)とおいて解の公式から解を出して、不等式の答えを導こう。\(\small{ \ ax^2+bx+c\gt 0 \ }\)からいきなり\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ }\)ってされても何の解なのかわからないよね。

Point

①まずは下に凸に変形しよう
②因数分解できなかったら解の公式を利用しよう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ x \ }\)についての2次不等式\(\small{ \ x^2-(a+1)x+a \lt0 \ }\)と\(\small{ \ 3x^2+2x-1\gt0 \ }\)を同時に満たす整数\(\small{ \ x \ }\)がちょうど\(\small{ \ 3 \ }\)個存在するような定数\(\small{ \ a \ }\)の範囲を求めよ。

\(\small{ \ 3x^2+2x-1\gt 0 \ }\)
\(\small{ \ (3x-1)(x+1)\gt0 \ }\)
\(\small{ \ x\lt -1, \ x\gt \displaystyle \frac {1}{3} \ }\)

\(\small{ \ x^2-(a+1)x+a \lt0 \ }\)
\(\small{ \ (x-1)(x-a)\lt0 \ }\)
(i)\(\small{ \ a \gt 1 \ }\)のとき\(\small{ \ 1\lt x \lt a \ }\)
(ii)\(\small{ \ a=1 \ }\)のとき解なし
(iii)\(\small{ \ a\lt 1 \ }\)のとき\(\small{ \ a \lt x \lt 1 \ }\)

2つの式を同時に満たす整数\(\small{ \ x \ }\)がちょうど3つになるときを考える。

(ア)\(\small{ \ a \gt 1 \ }\)のとき
整数解は\(\small{ \ x=2, \ 3, \ 4 \ }\)になるので、
2次不等式-03
\(\small{ \ 4 \lt a \leqq 5 \ }\)

(イ)\(\small{ \ a \lt 1 \ }\)のとき
整数解は \(\small{ \ x=-2, \ -3, \ -4 \ }\)になるので、
2次不等式-04
\(\small{ \ -5\leqq a \lt -4 \ }\)

point
不等式に定数\(\small{ \ a \ }\)などの文字が入っている場合、定数の範囲によって場合分けが必要になるから常に注意しよう。また、定数が1次式の場合、定数の降べきに並べることで因数分解がしやすくなるから、因数分解に気付かないときは定数に注目して因数分解してみよう
ちなみにこの問題文の不等式が\(\small{ \ x^2-(a+1)x+a \lt0 \ }\)と\(\small{ \ x^2-(a+1)x+a \leqq 0 \ }\)で答えも変わってくるから数直線を書いて端を含む、含まないに注意して答えを書こう。

この記事が気に入ったら
いいね ! しよう

Twitter で

  数学I, 二次関数