二次関数の最大最小(グラフが固定で定義域の一端が動く)

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は関数(グラフ)が固定され、定義域の一端が動く二次関数の最大最小について学習していこう。

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二次関数の最大最小の場合分け問題

今回学習するのは関数が\(\small{ \ y=x^2-2x+3 \ }\)のように定められていて定義域が\(\small{ \ 0\leqq x \leqq a \ }\)のような定義域の一端に定数\(\small{ \ a \ }\)が入っているような二次関数の最大最小問題になる。

この形の問題は頂点の\(\small{ \ x \ }\)座標、つまりグラフの軸が固定されているから定義域に「グラフの軸を含まない」「グラフの軸を含んで固定端の方が他端よりグラフの軸から遠い」「グラフの軸を含んで固定端の方が他端よりグラフの軸に近い」で最大値や最小値をとる\(\small{ \ x \ }\)の値が変わってくるから、定義域とグラフの軸の位置関係によって定数\(\small{ \ a \ }\)の範囲を場合分けしていかないといけないんだ。

グラフと定義域をきちんと書いて練習していこう。

二次関数の最大最小(軸と定義域の位置関係)

下に凸のグラフの場合
・定義域が(固定端)\(\small{\leqq x \leqq a \ }\)
二次関数の最大最小-3-01
(i)軸を含まないとき
最大値\(\small{ \ f(固定端) \ }\)
最小値\(\small{ \ f(a) \ }\)

(ii)軸を含んで固定端の方が軸から遠いとき
最大値\(\small{ \ f(固定端) \ }\)
最小値\(\small{ \ f(軸) \ }\)

(iii)軸を含んで固定端の方が軸に近いとき
最大値\(\small{ \ f(a) \ }\)
最小値\(\small{ \ f(軸) \ }\)

定義域とグラフの軸の位置関係で場合分け

このタイプの問題は基本的に下の例題のように、固定端は軸を含んでいない場所にあるから、定義域の一端を移動させて最大最小をとる\(\small{ \ x \ }\) の値の変化を場合分けしていこう。

 定義域に「軸を含まない」「軸を含んで固定端の方が軸から遠い」「軸を含んで固定端の方が軸に近い」の三つの場合から定数の範囲をきちんと場合分けして、最大値最小値を求めよう。

「軸を含んで固定端の方が軸から遠い」「軸を含んで固定端の方が軸に近い」の場合分けは軸が定義域の中央になる定数の値を求めて、それより大きいか小さいかで場合分けをしよう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 0\leqq x \leqq a \ }\)における\(\small{ \ y=x^2-4x+5 \ }\)の最大値と最小値を求めよ。

まずは平方完成すると
\(\small{\begin{eqnarray}
y&=&x^2-4x+5\\
&=&(x-2)^2+1
\end{eqnarray}}\)

(i)\(\small{ \ a \lt 2 \ }\)のとき
グラフより
最大値\(\small{ \ x=0 \ }\)のとき\(\small{ \ 5 \ }\)
最小値\(\small{ \ x=a \ }\)のとき\(\small{ \ a^2-4a+5 \ }\)

二次関数の最大最小-3-02

(ii)\(\small{ \ 2 \leqq a \lt 4 \ }\)のとき
グラフより
最大値\(\small{ \ x=0 \ }\)のとき\(\small{ \ 5 \ }\)
最小値\(\small{ \ x=2 \ }\)のとき\(\small{ \ 1\ }\)

二次関数の最大最小-3-03

(iii)\(\small{ \ a \geqq 4 \ }\)のとき
グラフより
最大値\(\small{ \ x=a \ }\)のとき\(\small{ \ a^2-4a+5 \ }\)
最小値\(\small{ \ x=2 \ }\)のとき\(\small{ \ 1\ }\)

二次関数の最大最小-3-04

point
定義域が固定されグラフが動く最大最小でも軸と定義域の位置関係が重要だったけど、今回も同じく軸と定義域関係が大事なんだ。

定義域と軸の位置によって最大や最小をとる\(\small{ \ x \ }\)の値が変化するから、各パターンの図を書いて最大値最小値を求めよう。

Point 二次関数の最大最小(グラフが固定で定義域の一端が動く)

①「軸を含まない」「軸を含んで固定端の方が軸から遠い」「軸を含んで固定端の方が軸に近い」に場合分けして最大値最小値を求める

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