条件式付きの二次関数の最大最小

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は条件式付きの二次関数の最大最小について学習していこう。

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条件付きの二次関数の最大値最小値問題

条件というのは、『\(\small{ \ x+y=1 \ }\)のとき\(\small{ \ x^2+y^2 \ }\)の最小値を求めよ』のような問題の、\(\small{ \ x+y=1 \ }\)という式のことで、式が一つ与えられることによって、一つ文字を消去できることを頭に入れておこう。

この場合だと\(\small{ \ y=1-x \ }\)ってなるからこれを最大値最小値を求める式に代入すると変数が一つになるから平方完成して解けば良いよね。

条件付きの二次関数の最大最小

条件から1文字消去する
範囲が与えられている場合は残った文字の範囲に注意する
\(\small{ \ x+y=1 \ }\)、\(\small{ \ x\geqq 0 \ }\)、\(\small{ \ y \geqq 0 \ }\)の条件の場合
\(\small{ \ y=-x+1 \ }\)となり、\(\small{ \ y=-x+1 \geqq 0 \ }\)より\(\small{ \ x\leqq 1 \ }\)
よって\(\small{ \ y=-x+1 \ }\)かつ\(\small{ \ 0\leqq x \leqq 1 \ }\)

条件式から変数を1つ消去

基本は変数が2個ある関数を条件式から変数を1個消去して1変数の二次関数として考えていくんだ。

\(\small{ \ x+y=1 \ }\)のような条件式が一つあれば、\(\small{ \ y=1-x \ }\)のように文字を\(\small{ \ y \ }\)を消去して\(\small{ \ x \ }\)だけにすることができるよね。つまり条件式一つにつき文字を一つ消去することができるんだ。

もし文字が三つあっても条件式が二つあれば文字を二つ消去することができるから一つの文字の関数として考えることができるからね。

このとき注意しないといけないのが、残した文字の範囲。消去する文字の範囲にも注意して、残した文字の範囲を求めよう。

例題を確認
問題解答

(1)\(\small{ \ x+2y=1 \ }\)のとき、\(\small{ \ x^2+y^2 \ }\)の最小値を求めよ。
(2)\(\small{ \ x^2+y^2=1 \ }\)のとき、\(\small{ \ 2x+4y^2 \ }\)の最大値と最小値を求めよ。

(1)\(\small{ \ x=1-2y \ }\)より、
\(\small{\begin{eqnarray} x^2+y^2&=&(1-2y)^2+y^2\\
&=&5y^2-4y+1\\
&=&5\left(y-\displaystyle \frac{2}{5}\right)^2+\displaystyle \frac{1}{5} \ \end{eqnarray}}\)
よって最小値は\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{1}{5}、y=\displaystyle \frac{2}{5} \ }\)のとき\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{5} \ }\)
(2)\(\small{ \ y^2=1-x^2 \ }\)より、
\(\small{\begin{eqnarray} \ 2x+4y^2&=&2x+4(1-x^2)\\
&=&-4x^2+2x+4\\
&=&-4\left(x^2- \displaystyle \frac{1}{2}x\right)+4\\
&=&-4\left(x-\displaystyle \frac{1}{4}\right)^2+\displaystyle \frac{17}{4}
\end{eqnarray}}\)
ここで、\(\small{ \ y^2=1-x^2 \ }\)より\(\small{ \ 1-x^2 \geqq 0 \\
x^2-1 \leqq 0\\
(x-1)(x+1) \leqq 0 \\
\therefore -1 \leqq x \leqq 1 \ }\)
よって\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{1}{4}、y=\pm \displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4} \ }\)のとき、最大値\(\small{ \ \displaystyle \frac{17}{4} \ }\)
\(\small{ \ x=-1、y=0 \ }\)のとき、最小値\(\small{ \ -2 \ }\)

point
条件式について、すでに数学Ⅱの図形と方程式を学習してれば、\(\small{ \ x+2y=1 \ }\) は直線だから定義域は存在しないし、\(\small{ \ x^2+y^2=1 \ }\)は円の方程式だから\(\small{ \ -1 \leqq x \leqq 1 \ }\)って気づくよね。

\(\small{ \ x+y=1 \ }\)、\(\small{ \ x\geqq 0 \ }\)、\(\small{ \ y \geqq 0 \ }\)であれば領域を考えれば\(\small{ \ x \ }\)の範囲もすぐ分かるしね。持ってる知識を最大限に活かして問題を解いていこう。

Point 条件式付きの二次関数の最大最小

①変数が2個ある関数を条件式から変数を1個消去して1変数の二次関数に変換
②残した変数の定義域を考える

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