二変数関数の最大最小

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は二次の二変数関数の最大最小について学習していこう。

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二変数関数の最大最小

前回学習した条件付きの二次関数の最大最小も変数が二つあったけど、条件式から変数を一つにすることができたから単純に一変数の最大最小として平方完成して解けばよかったよね。

でも今回学習するのは条件式がない二変数関数の最大最小問題になるから、しっかりと解法を覚えよう。このパターンは空間ベクトルとか他の単元で出題されることもよくあるから、二次関数の学習として考えるだけじゃなくて、高校数学の最大最小問題として覚えておこう。

二変数関数の二次関数

\(\small{ \ f(x, \ y) \ }\)
まずは一つの文字に注目して平方完成し、その最小値もさらに平方完成する
\(\small{ \ (A)^2+(B)^2+C \ }\)の形になる
(実数)\(\small{^2 \ \geqq 0 \ }\)より
\(\small{ \ A=B=0 \ }\)のとき最小値\(\small{ \ C \ }\)

一つの変数を定数として、まずは一変数の最大最小を考える

二変数と言っても、同時に二つの変数を動かして最大値や最小値を求めるのは無理があるから、まずは一変数の関数として、もう一つの変数は定数とみなして一変数の最大・最小を考えていこう。
まずは一つの文字に注目して、その文字の降べきの順に並べて平方完成しよう。

すると最大値や最小値が定数とみなした変数だけで表すことが出来るから、その最大値や最小値をもう一度平方完成して、さらに最大・最小を求めるというのが二変数関数の最大値・最小値問題を解く解き方になるからしっかり覚えておこう。

それじゃ下の例題を確認してみよう。(1)はできるのに(2)はできないっていう人が多いけど、基本的には同じ問題だし、同じ解法だよね。

まずは一つの変数に注目して問題を解いていこう。

例題を確認
問題解答

(1)\(\small{ \ y=x^2-2ax+2a^2-2a+3 \ }\)の最小値を\(\small{m(a)}\)求めよ。
また、\(\small{m(a)}\)の最小値も求めよ。
(2)\(\small{ \ P=x^2+3y^2-2xy-2x+6y+4 \ }\)の最小値を求めよ。

(1)まず 平方完成して
\(\small{\begin{eqnarray}
y&=&x^2-2ax+2a^2-2a+3\\
&=&(x-a)^2+a^2-2a+3
\end{eqnarray}
}\)
よって最小値は\(\small{ \ x=a \ }\)のとき\(\small{ \ a^2-2a+3 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
m(a)&=&a^2-2a+3\\
&=&(a-1)^2+2
\end{eqnarray}
}\)
よって最小値は\(\small{ \ a=1 \ }\)のとき\(\small{ \ 2 \ }\)
(2)与式を変形すると

\(\small{\begin{eqnarray}
P&=&x^2+3y^2-2xy-2x+6y+4\\
&=&x^2-(2y+2)x+3y^2+6y+4\\
&=&\{x-(y+1)\}^2-(y+1)^2+3y^2+6y+4\\
&=&\{x-(y+1)\}^2+2y^2+4y+3\\
&=&(x-y-1)^2+2(y+1)^2+1
\end{eqnarray}
}\)

\(\small{\quad x-y-1=0 \ }\)かつ\(\small{ \ y+1=0}\)
\(\small{\therefore x=0、y=-1}\)のとき最小値\(\small{1}\)

point
条件付きの二次関数の最大最小だと条件式から変数を一つ消すことができたけど、今回は条件がないから消すことができないよね。

だからとりあえず一つの変数に注目して最小値を求めて、その最小値がもう一つの変数で表されているから、それを再度平方完成して最小値を求めればいいんだ。

\(\small{ \ a^2+b^2 \ }\)は\(\small{ \ a^2 \geqq0 \ }\)、\(\small{ \ b^2 \geqq0 \ }\)だから\(\small{ \ a=b=0 \ }\)のとき、最小値\(\small{ \ 0 \ }\)になるから、平方完成した二つの項がともに\(\small{ \ 0 \ }\)になるとき最小になるからね。

Point 二変数関数の最大最小

①まずは一つの文字に注目して降べきの順に並べる
②注目した文字で平方完成する
③最大値または最小値がもう一つの変数だけで表されるから再度平方完成する

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