3次関数の決定と平行移動

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は3次関数の決定と平行移動について学習していこう。

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関数の決定と平行移動

関数の決定も平行移動も2次関数や円の方程式の決定と大きく変わらないけど、3次関数は\(\small{ \ f(x) \ }\)だけじゃなく\(\small{ \ f'(x) \ }\)っていう導関数もあるからこの2つをうまく利用して関数を決定しよう。

3次関数の決定と平行移動

3次関数は一般的に\(\small{ \ y=ax^3+bx^2+cx+d \ }\) となるから\(\small{ \ a, \ b, \ c, \ d \ }\)を求めるための4つの連立方程式を解く必要がある

3次関数の決定

3次関数といえば一般的に\(\small{ \ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \ }\)っておくことができるから、未知数は\(\small{ \ a, \ b, \ c, \ d \ }\)の4文字だから4つの点が与えられたら求めることができる。でも、4つの点を代入して連立方程式を解くなんて、中学生がやるような問題を高校生に解かせても意味ないよね。だから実際そんな問題はほとんどなくて、極大や極小に関するヒントから求めることが多い。\(\small{ \ (3, \ 2) \ }\)が極小値って言われたら\(\small{ \ f(3)=2 \ }\)と\(\small{ \ f'(3)=0 \ }\)の2つの式が成り立つからね。2次関数の決定のときと同じで未知数と式の数を同じにしよう。

3次関数の平行移動

3次関数の平行移動は\(\small{ \ x \ }\)軸方向に\(\small{ \ \alpha \ }\)平行移動させるときは\(\small{ \ x \ }\)を\(\small{ \ x-\alpha \ }\)に、\(\small{ \ y \ }\)軸方向に\(\small{ \ \beta \ }\)平行移動させるときは\(\small{ \ y \ }\)を\(\small{ \ y-\beta \ }\)に書き換えて平行移動しよう。
2次関数の頂点を移動させるように、3次関数の極大や極小を平行移動しようとしても、2次関数の場合は平方完成することで、式を頂点がわかる形に出来たけど、3次関数の場合はそういう風な変形は出来ないからね。

例題を確認
問題解答

次の関数\(\small{ \ f(x) \ }\)を求めよ。
(1)\(\small{ \ x=-1 \ }\)で極大値\(\small{ \ 5 \ }\)、\(\small{ \ x=2 \ }\)で極小値\(\small{ \ -4 \ }\)をとる
(2)\(\small{ \ y=x^3-3x+2 \ }\)を\(\small{ \ x \ }\)軸正の方向に平行移動したグラフで原点を通る

(1)\(\small{ \ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \ }\)とすると
\(\small{ \ f(-1)=5 \ }\)\(\small{ \ f(2)=-4 \ }\)\(\small{ \ f'(-1)=0 \ }\)\(\small{ \ f'(2)=0 \ }\)
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l} \ -a+b-c+d=5\\
8a+4b+2c+d=-4\\
3a-2b+c=0\\
12a+4b+c=0
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=\displaystyle \frac{2}{3}, \ b=-1, \ c=-4, \ d =\displaystyle \frac{8}{3} \ }\)
よって\(\small{ \ f(x)=\displaystyle \frac{2}{3}x^3-x^2-4x+\displaystyle \frac{8}{3} \ }\)

(2)\(\small{ \ x \ }\)軸方向に\(\small{ \ p \ }\)平行移動したグラフは
\(\small{ \ f(x)=(x-p)^3-3(x-p)+2=0 \ }\)
これが原点を通るから\(\small{ \ f(0)=0 \ }\)より
\(\small{ \ p^3-3p-2=0 \ }\)
\(\small{ \ (p+1)^2(p-2)=0 \ }\)
題意より\(\small{ \ p \gt 0 \ }\)より\(\small{ \ p=2 \ }\)
よって求めるグラフは\(\small{ \ f(x)=x^3-6x^2+9x \ }\)

point
関数の決定は未知数の数だけ式をたてる必要があるから題意からいくつか式をたてることができるのか、その数によって未知数を定めよう。通る点が1点与えられることで式を1つたてることができるから、通る点の数も重要だからね。これは2次関数の決定円の方程式の決定についても同様のことが言えるよね。受験生の人はこちらも再度確認しておこう。

Point

①関数の決定は題意から\(\small{ \ f(x), \ f'(x) \ }\)を利用した式を立てよう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ f(x)=x^3+ax^2+bx+c \ }\)とする。関数\(\small{ \ y=f(x) \ }\)のグラフは点\(\small{ \ (2, \ 1) \ }\)に関して対称であり、この関数は\(\small{ \ x=1 \ }\)のとき極大値をとる。このとき\(\small{ \ a, \ b, \ c, \ d \ }\)の値を求めよ。

\(\small{ \ (2, \ 1) \ }\)に関して\(\small{ \ y=f(x) \ }\)上の\(\small{ \ (x, \ y) \ }\)と対称な点を\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)とすると\(\small{ \ y=f(x) \ }\)のグラフは点\(\small{ \ (2, \ 1) \ }\)に関して対称だから\(\small{ \ b=f(a) \ }\)が成り立つ
\(\small{ \ (2, \ 1)=\left(\displaystyle \frac{x+a}{2}, \ \displaystyle \frac{y+b}{2}\right) \ }\)より
\(\small{ \ a=4-x, \ b=2-y \ }\)
これを\(\small{ \ b=f(a) \ }\)に代入すると
\(\small{ \ 2-y=(4-x)^3+a(4-x)^2+b(4-x)+c \ }\)
これを整理して

\(\small{ \ y=x^3-(a+12)x^2+(8a+b+48)x-(16a+4b+c+62) \ }\)

これが\(\small{ \ y=x^3+ax^2+bx+c \ }\)と等しいので、係数比較して
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a=-a+12\\
b=8a+b+48\\
c=-16a-4b-c-62
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
また、\(\small{ \ x=1 \ }\)のとき極大値をとるので\(\small{ \ f'(1)=0 \ }\)より
\(\small{ \ 2a+b+3=0 \ }\)
これを解いて\(\small{ \ a=-6, \ b=9, \ c=-1 \ }\)

point
一般的に3次関数のグラフはある点について対称な関数になんだ。この点は変曲点って言われる点で\(\small{ \ f'(x) \ }\)をもう一度微分した\(\small{ \ f''(x)=0 \ }\)で、かつその前後で\(\small{ \ f''(x) \ }\)の符号が変化する点のことだから知識として知っておこう。変曲点は、曲線の接線が曲線より上側にあるか、下側にあるかの境目になる点でもあるからね。

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  数学II, 微分法

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