三角形の五心

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三角形の五心について学習していこう。

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三角形の五心(外心・内心・重心・垂心・傍心)

三角形には五心と呼ばれる条件を満たした三つの直線の交点が五つ存在するんだ。

この点を求める問題とかはほとんどないんだけど、この点を利用した問題っていうのはよく出題されるから、各心がどういった条件を満たしているのか必ず覚えておこう。

三角形の五心

・外心\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)
・内心\(\small{ \ \mathrm{I} \ }\)
・重心\(\small{ \ \mathrm{G} \ }\)
・垂心\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)
・傍心\(\small{ \ \mathrm{I}_1, \ \mathrm{I}_2, \ \mathrm{I}_3 \ }\)

外心

三角形の外心とは三角形の外接円の中心のことで、各辺の垂直二等分線の交点が外心になる。

鋭角三角形の場合は外心は三角形の内部に、直角三角形の場合は外心は斜辺の中点に、鈍角三角形の場合は外心は三角形の外部にあるから覚えておこう。

三角形の五心-01

内心

三角形の内心とは三角形の内接円の中心のことで、三角形のそれぞれの角の二等分線の交点が内心になる。

内接円は三角形の各辺に接するけど、図を見てわかる通り、基本的には接する点と角の二等分線が対辺と交わる点は異なるから注意しておこう。

また、内角の二等分線といえば、対辺をその他の辺の比に内分することも一緒に思い出すようにしよう。

三角形の五心-02

重心

三角形の重心とは中線の交点のこと。

中線とは頂点から対辺の中点に引いた線分のことで、重心はこの線分を\(\small{ \ 2:1 \ }\)に内分するからね。

三角形の五心-03

垂心

三角形の垂心とはそれぞれの頂点から対辺にひいた垂線の交点のこと。

特別な辺の比とかはないけど、数学Bのベクトルとかで利用することもあるから、どういう点なのかはきちんと覚えておこう。

三角形の五心-04

傍心

傍心とは三角形の一つの内角の二等分線とそれ以外の角の外角の二等分線の交点のこと。

傍心は一つの三角形で三つあるからね。
また、図のように傍心は三角形の一つの辺とその他の二つの辺を延長した線に接する円を書くことができる。

この円のことを傍接円っていうから覚えておこう。

また、外角の二等分線といえば、辺の比に外分することも一緒に思い出すようにしよう。

三角形の五心-05

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ \triangle \mathrm{ABC} \ }\)の外心を\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)、重心を\(\small{ \ \mathrm{G} \ }\)、垂心を\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{BC} \ }\)の中点を\(\small{ \ \mathrm{M} \ }\)とするとき、次の問いに答えよ。
(1)\(\small{ \ \mathrm{AH}=2\mathrm{OM} \ }\)が成り立つことを証明せよ。
(2)\(\small{\mathrm{O} }\)、\(\small{\mathrm{G}}\)、\(\small{\mathrm{H}}\)は一直線上にあって、\(\small{ \ \mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2 \ }\)であることを証明せよ。

三角形の五心-06

(1)直線\(\small{ \ \mathrm{OC} \ }\)と外接円の交点を\(\small{ \ \mathrm{D} \ }\)とする
\(\small{ \ \mathrm{CD} \ }\)は円の直径より\(\small{ \ \angle \mathrm{CBD}=90^{\circ} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \mathrm{BD} \perp \mathrm{BC} \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)は垂心より
\(\small{ \ \mathrm{AH} \perp \mathrm{BC} \ }\)
よって\(\small{ \ \mathrm{AH} /\!/ \mathrm{BD} \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{CD} \ }\)は円の直径より\(\small{ \ \angle \mathrm{CAD}=90^{\circ} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \mathrm{AD} \perp \mathrm{AC} \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)は垂心より
\(\small{ \ \mathrm{BH} \perp \mathrm{AC} \ }\)
よって\(\small{ \ \mathrm{AD} /\!/ \mathrm{BH} \ }\)
つまり四角形\(\small{ \ \mathrm{AHBD} \ }\)は平行四辺形
また、\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)は\(\small{ \ \mathrm{CD} \ }\)の中点、\(\small{ \ \mathrm{M} \ }\)は\(\small{ \ \mathrm{BC} \ }\)の中点なので、
中点連結定理より\(\small{ \ \mathrm{BD}=2\mathrm{OM} \ }\)
よって\(\small{ \ \mathrm{AH}=2\mathrm{OM} \ }\)
三角形の五心-07
(2)\(\small{ \ \mathrm{OH} \ }\)と\(\small{ \ \mathrm{AM} \ }\)との交点を\(\small{ \ \mathrm{E} \ }\)とすると、
\(\small{ \ \mathrm{OM}/\!/ \mathrm{AH} \ }\)より
\(\small{ \ \mathrm{AE}:\mathrm{EM}=\mathrm{AH}:\mathrm{OM}=2:1 \ }\)(\(\small{ \ \because \ }\)(1)より)
よって\(\small{ \ \mathrm{E} \ }\)は\(\small{ \ \mathrm{AM} \ }\)を\(\small{ \ 2:1 \ }\)に内分するから\(\small{ \ \triangle \mathrm{ABC} \ }\)の重心である
よって\(\small{ \ \mathrm{O} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{G} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{H} \ }\)は一直線上にあって、\(\small{ \ \mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2 \ }\)である

point
各心は何の線の交点なのかきちんと覚えておこう。その知識が問題と解く上で役立つことがあるからね。何の線の交点だったかなぁ?とか言ってると周りとどんどん差が広がっていくからね。
五心のうち傍心以外の4つの心のうち、どれか二つが同じ点だった場合、その三角形は正三角形ってことも覚えておこう。

Point

①五心の性質を覚えておこう

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