三角比の対称式

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三角比の対称式について学習していこう。

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三角比の対称式は2次の基本対称式を利用する

\(\small{ \ \sin\theta+\cos \theta=a \ }\)と与えられているだけで、この式から色々な値を求めることが出来るんだ。今回はどんな値を求めることが出来るのか、一つ一つ整理していこう。

三角比の対称式

\(\small{ \ \sin \theta + \cos \theta=a \ }\)のとき
両辺を二乗すると
\(\small{\begin{eqnarray} \ a^2&=& \sin^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta\\
&=&1+ \sin \theta \cos \theta \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ \therefore \sin \theta \cos \theta= \displaystyle \frac{a^2-1}{2} \ }\)
よって2次の基本対称式\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\sin \theta + \cos \theta=a\\
\sin \theta \cos \theta= \displaystyle \frac{a^2-1}{2}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)が導ける

積の正負からどの象限にあるか判断しよう

\(\small{ \ \sin \theta \cos \theta \gt 0 \ }\)の場合、\(\small{ \ \sin \theta \ }\)と\(\small{ \ \cos \theta \ }\)の値が同符号だから、 \(\small{ \ 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)のとき、 \(\small{ \ \theta \ }\)は第一象限 \(\small{ \ 0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ} \ }\)にあることが言えるよね。

逆に\(\small{ \ \sin \theta \cos \theta \lt 0 \ }\)の場合、\(\small{ \ \sin \theta \ }\)と\(\small{ \ \cos \theta \ }\)の値が異符号だから、 \(\small{ \ 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)のとき、 \(\small{ \ \theta \ }\)は第二象限 \(\small{ \ 90^{\circ} \lt \theta \lt 180^{\circ} \ }\)にあることが言えるよね。

このように積の値から\(\small{ \ \theta \ }\)の範囲がわかるから、必ず確認しておこう。

基本対称式の利用

\(\small{ \ \sin \theta+ \cos \theta \ }\)か\(\small{ \ \sin \theta \cos \theta \ }\)のどちらか一方の値が与えられていると、もう片方の値も求めることが出来るよね。ってことは三角比の基本対称式が求まったことになる。

だから\(\small{ \ \sin \theta \ }\)と \(\small{ \ \cos \theta \ }\)を入れ替えても変わらない対称式は、\(\small{\sin \theta+ \cos \theta \ }\)と\(\small{ \ \sin \theta \cos \theta \ }\)の基本対称式で表すことが出来るんだ。

対称式がイマイチよくわかってない人は、下のページを読んで確認しておこう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ 0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ} \ }\)で\(\small{ \ \sin\theta+\cos\theta=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2} \ }\)のとき、\(\small{ \ \sin\theta-\cos\theta \ }\)の値を求めよ。

\(\small{ \ \sin\theta+\cos\theta=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2} \ }\)より
両辺\(\small{ \ 2 \ }\)乗すると
\(\small{ \ \left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2=\left(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 \ }\)
\(\small{ \ 1+2\sin\theta\cos\theta=\displaystyle\frac{3}{2} \ }\)
\(\small{ \ \sin\theta\cos\theta=\displaystyle\frac{1}{4} \ }\)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \left(\sin\theta-\cos\theta\right)^2&=& \left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2-4\sin\theta\cos\theta\\
&=&\left(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2-4\cdot\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{1}{2} \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ \therefore \sin\theta-\cos\theta=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \ }\)
ここで\(\small{ \ \sin\theta\cos\theta=\displaystyle\frac{1}{4} \ }\)より\(\small{ \ 0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ} \ }\)
\(\small{ \ 0^{\circ} \lt \theta \lt 45^{\circ} \ }\)のとき\(\small{ \ \sin\theta \lt \cos\theta \ }\)
\(\small{ \ \theta =45^{\circ} \ }\)のとき\(\small{ \ \sin\theta = \cos\theta \ }\)
\(\small{ \ 45^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ} \ }\)のとき\(\small{ \ \sin\theta \gt \cos\theta \ }\)
よって
(i)\(\small{ \ 0^{\circ} \lt \theta \lt 45^{\circ} \ }\)のとき
 \(\small{ \ \sin\theta-\cos\theta=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \ }\)
(ii)\(\small{ \ \theta =45^{\circ} \ }\)のとき
 \(\small{ \ \sin\theta-\cos\theta=0 \ }\)
(iii)\(\small{ \ 45^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ} \ }\)のとき
 \(\small{ \ \sin\theta-\cos\theta=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \ }\)

point
答えが\(\small{ \ \pm \ }\)のつく二つある場合は、どちらも条件を満たすのか必ず確認しよう。条件によっては片方しか満たさない場合もあるからね。

Point

①\(\small{ \ \sin\theta+\cos \theta=a \ }\)は2乗して\(\small{ \ \sin\theta\cos \theta \ }\)を求めよう
②求める答えが対称式の場合は①で求めた基本対称式を利用しよう

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

\(\small{ \ \sin\theta+\cos\theta=\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)のとき次の値を求めよ
(1)\(\small{ \ \tan\theta+\displaystyle\frac{1}{\tan\theta} \ }\)
(2)\(\small{ \ \tan^3 \theta+\displaystyle\frac{1}{\tan^3 \theta} \ }\)
(3)\(\small{ \ \sin^3\theta+\cos^3 \theta \ }\)
(4)\(\small{ \ \sin^4\theta+\cos^4\theta \ }\)

(1)

\(\small{ \ \tan\theta+\displaystyle\frac{1}{\tan\theta}=\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+\displaystyle\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\displaystyle\frac{1}{\sin\theta\cos\theta} \ }\)

ここで\(\small{ \ \sin\theta+\cos\theta=\displaystyle\frac{1}{2} \ }\)より
両辺を\(\small{ \ 2\ }\)乗して
\(\small{ \ 1+2\sin\theta\cos\theta=\displaystyle\frac{1}{4} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \sin\theta\cos\theta=-\displaystyle\frac{3}{8} \ }\)
\(\small{ \ \therefore \tan\theta+\displaystyle\frac{1}{\tan\theta}=-\displaystyle\frac{8}{3} \ }\)
(2)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \tan^3 \theta+\displaystyle\frac{1}{\tan^3 \theta}&=&\left(\tan\theta+\displaystyle\frac{1}{\tan\theta}\right)^3-3\tan\theta\cdot \displaystyle\frac{1}{\tan\theta}\left(\tan\theta+\displaystyle\frac{1}{\tan\theta}\right)\\
&=&\left(-\displaystyle\frac{8}{3}\right)^3-3\left(-\displaystyle\frac{8}{3}\right)\\
&=&-\displaystyle\frac{296}{27} \ \end{eqnarray}}\)

(3)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \sin^3\theta+\cos^3 \theta&=&(\sin\theta+\cos\theta)^3-3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)\\
&=&\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3-3\left(-\displaystyle\frac{3}{8}\right)\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\\
&=&\displaystyle\frac{11}{16} \ \end{eqnarray}}\)

(4)

\(\small{\begin{eqnarray} \ \sin^4\theta+\cos^4\theta&=&(\sin^2\theta+\cos^2\theta)^2-2\sin^2\theta\cos^2\theta\\
&=&1-2\left(-\displaystyle\frac{3}{8}\right)^2\\
&=&\displaystyle\frac{23}{32} \ \end{eqnarray}}\)

point
ちなみにこの問題の(3)(4)は

\(\small{ \ a^3+b^3=(a^2+b^2)(a+b)-ab(a+b) \ }\)
\(\small{ \ a^4+b^4=(a^3+b^3)(a+b)-ab(a^2+b^2) \ }\)

ともいえる。
この関係式を一般化すると

\(\small{ \ a^n+b^n=(a^{n-1}+b^{n-1})(a+b)-ab(a^{n-2}+b^{n-2}) \ }\)

ってなる。
受験生はこの関係式を漸化式で二つの仮定を必要とする問題で使ったこともあるんじゃないかな。
一般化した式も頭の片隅に入れておこう。

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