三角方程式の解き方

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は三角方程式について学習していこう。

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三角関数の方程式

今回学習する三角方程式は三角関数の中で最重要と言ってもいいぐらい大切なところだから、どんな三角方程式が出題されても解けるようにならないといけないよ。

最大最小の問題や合成を利用した問題でも利用することがあるからね。きちんと学習して確実に理解しておこう。

三角方程式の解き方

①有名角の三角関数の値を確実に覚える。
②角度が\(\small{ \ \theta \ }\)の一次式で置換する場合、範囲も置換する。
③周期の\(\small{ \ n \ }\)倍を利用した一般解での解き方を利用する。

有名角の三角関数の値

\(\small{ \ \theta \ }\)の値を求めるためには、まずは\(\small{ \ \sin\theta \ }\)や\(\small{ \ \cos\theta \ }\)、\(\small{ \ \tan\theta \ }\)の値を求める必要がある。

その三角関数の値から\(\small{ \ \theta \ }\)の値を求めることになるんだけど、このとき有名角の三角関数の値を覚えていないと\(\small{ \ \theta \ }\)の値を求めることは出来ないからね。

だからまずは有名角の三角関数の値を確実に覚えよう。\(\small{ \ \sin\theta \ }\)の値が求まったら、すぐに\(\small{ \ \theta \ }\)の値が言えるようにしよう。

\(\small{ \ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\theta & 0 & \displaystyle\frac{\pi}{6} & \displaystyle\frac{\pi}{4} & \displaystyle\frac{\pi}{3}& \displaystyle\frac{\pi}{2}& \displaystyle\frac{2}{3}\pi & \displaystyle\frac{3}{4}\pi & \displaystyle\frac{5}{6}\pi & \pi \\[3pt] \hline
\sin \theta & 0 & \displaystyle \frac{1}{2} & \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} & \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} & \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} & \displaystyle \frac{1}{2} & 0 \\[3pt] \hline
\cos \theta & 1 & \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} & \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} & \displaystyle \frac{1}{2} & 0 & -\displaystyle \frac{1}{2} & -\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}& -\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \\[3pt] \hline
\tan \theta & 0 & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} & × & -\sqrt{3} & -1 & -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\[3pt] \hline
\end{array} \ }\)

\(\small{ \ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\theta & \pi & \displaystyle\frac{7}{6}\pi & \displaystyle\frac{5}{4}\pi & \displaystyle\frac{4}{3}\pi& \displaystyle\frac{3}{2}\pi& \displaystyle\frac{5}{3}\pi & \displaystyle\frac{7}{4}\pi & \displaystyle\frac{11}{6}\pi & 2\pi \\[3pt] \hline
\sin \theta & 0 & -\displaystyle \frac{1}{2} & -\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} & -\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} & -1 & -\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} & -\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} & -\displaystyle \frac{1}{2} & 0 \\[3pt] \hline
\cos \theta & -1 & -\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} & -\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} & -\displaystyle \frac{1}{2} & 0 & \displaystyle \frac{1}{2} & \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}& \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\[3pt] \hline
\tan \theta & 0 & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} & × & -\sqrt{3} & -1 & -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\[3pt] \hline
\end{array} \ }\)

数学Ⅰの図形と計量で初めて三角比を教わったときは有名角の値を覚えるのが大変で単位円を利用して解いた人も多いと思うけど、数学Ⅱの三角関数からは確実に値を覚えておこう。

加法定理や合成や方程式不等式で値を利用することが本当に多いからね。
ただ、単位円を利用した方法は不等式で利用するから単位円の方法も確認しておこう。

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三角方程式の解き方

次の問題について考えてみよう。

確認問題
問題解答

\(\small{ \ 0 \leqq \theta \lt 2\pi \ }\)のとき、\(\small{ \ \sin\theta=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ }\)を解け。

\(\small{ \ 0 \leqq \theta \lt 2\pi \ }\)より\(\small{ \ \theta=\displaystyle\frac{\pi}{3}、\displaystyle\frac{2}{3}\pi \ }\)

これは有名角の三角関数の値を覚えていればさっと答えがでるよね。

これを三角方程式の一般解で考えてみよう。
\(\small{ \ \theta \ }\)に範囲がないとすると
\(\small{ \ \sin\theta=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ }\)
\(\small{ \ \theta=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi、\displaystyle\frac{2}{3}\pi+2n\pi \ }\)(\(\small{ \ n \ }\)は整数)

この\(\small{ \ n \ }\)を利用した解を一般解っていうから覚えておこう。

三角関数は周期関数だから同じ値が周期ごとにある。つまりこの問題の場合、\(\small{ \ \sin\theta \ }\)の周期が\(\small{ \ 2\pi \ }\)だから\(\small{ \ 2\pi \ }\)ごとに\(\small{ \ \sin\theta=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ }\)を満たす\(\small{ \ \theta \ }\)が存在する事になるんだ。
だから一つ値を求めて、それに周期の\(\small{ \ n \ }\)倍を加えることですべての解、つまり一般解になるんだ。

これを利用して範囲が与えられている問題でも一般解を求めて、その範囲を満たす\(\small{ \ n \ }\)を求めてもいいからね。
周期について不安な人は三角関数のグラフについてもう一度確認しておこう。

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三角方程式の置き換え

さらに次の問題を考えてみよう。

確認問題
問題解答

\(\small{ \ 0 \leqq \theta \lt 2\pi \ }\)のとき
\(\small{ \ \cos\left(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ }\)

\(\small{ \ 2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}=t \ }\)とおく。
\(\small{ \ 0 \leqq \theta \lt 2\pi \ }\)より\(\small{ \ -\displaystyle\frac{\pi}{4} \leqq t \lt 4\pi-\displaystyle\frac{\pi}{4} \ }\)
\(\small{ \ \cos t=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ }\)の解は
\(\small{ \ t=-\displaystyle\frac{\pi}{6}, \ \displaystyle\frac{\pi}{6}, \ \displaystyle\frac{11}{6}\pi, \ \displaystyle\frac{13}{6}\pi \ }\)
\(\small{ \ \theta=\displaystyle\frac{t+\displaystyle\frac{\pi}{4}}{2} \ }\)より
\(\small{ \ \theta=\displaystyle\frac{\pi}{24}, \ \displaystyle\frac{5}{24}\pi, \ \displaystyle\frac{25}{24}\pi, \ \displaystyle\frac{29}{24}\pi \ }\)

角度の部分が\(\small{ \ \theta \ }\)の一次式になってる場合、角度の部分を一度置換して問題を解くって言うのが基本的な解法だよね。このとき範囲も置換するのを忘れないようにね。

この問題を一般解を利用して考えてみよう。
\(\small{ \ \cos\left(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ }\)
\(\small{ \ 2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2n\pi, \ \displaystyle\frac{11}{6}\pi+2n\pi \ }\)(\(\small{ \ n \ }\)は整数)\(\small{ \ \cdots① \ }\)
\(\small{ \ \therefore \theta=\displaystyle\frac{5}{24}\pi+n\pi, \ \displaystyle\frac{25}{24}\pi+n\pi\cdots② \ }\)

これが一般解になるから\(\small{ \ 0 \leqq \theta \lt 2\pi \ }\)の範囲を満たすのは、はじめの式に\(\small{ \ n=0, \ 1 \ }\)、次の式に\(\small{ \ n=0, \ -1 \ }\)を代入したものになる。
\(\small{ \ \theta=\displaystyle\frac{\pi}{24}, \ \displaystyle\frac{5}{24}\pi, \ \displaystyle\frac{25}{24}\pi, \ \displaystyle\frac{29}{24}\pi \ }\)

一般解を利用するとき、\(\small{①}\)の段階で周期の\(\small{ \ n \ }\)倍を加えること。

一つ\(\small{ \ \theta \ }\)の値を導いてから最後に\(\small{ \ 2n\pi \ }\)を加える人を見かけるけど、それは大きな間違い。
もし最後に周期の\(\small{ \ n \ }\)倍を加えるなら、\(\small{ \ \cos\left(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) \ }\)の周期は\(\small{ \ \pi \ }\)だから\(\small{ \ n\pi \ }\)を加えないといけないからね。つまり\(\small{②}\)の状態になるってこと。
\(\small{ \ \theta \ }\)の係数が\(\small{ \ 2 \ }\)のとき、\(\small{ \ \cos\left(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ }\)の周期は\(\small{ \ \pi \ }\)になるからね。

でも最後に周期の\(\small{ \ n \ }\)倍を加えるより上のように\(\small{①}\)の状態で\(\small{ \ \cos \ }\)の周期\(\small{ \ 2\pi \ }\)を加える方が解きやすいと思うけどね。

置き換えた状態を考えてみると
\(\small{ \ \cos t=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ }\)より
\(\small{ \ t=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2n\pi, \ \displaystyle\frac{11}{6}\pi+2n\pi \ }\)(\(\small{ \ n \ }\)は整数)
ってなるはずだよね。

だから\(\small{ ①}\)の段階で周期の\(\small{ \ n \ }\)倍を加えよう。\(\small{ \ \sin \ }\)や\(\small{ \ \cos \ }\)なら\(\small{ \ 2n\pi \ }\)を、\(\small{ \ \tan \ }\)なら\(\small{ \ \pi \ }\)を加えるんだ。

例題を確認
問題解答1解答2

\(\small{ \ 0 \leqq \theta \lt 2\pi \ }\)のとき、次の方程式を解け。
(1)\(\small{ \ \sin\left(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ }\)
(2)\(\small{ \ \tan\left(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3} \ }\)

(1)\(\small{ \ \sin\left(2\theta-\displaystyle \frac{\pi}{3}\right)=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \ }\)
\(\small{ \ t=2\theta-\displaystyle \frac{\pi}{3} \ }\)とおくと
\(\small{ \ 0\leqq \theta \lt2\pi \ }\)より
\(\small{ \ -\displaystyle \frac{\pi}{3}\leqq t \lt 4\pi-\displaystyle \frac{\pi}{3} \ }\)
\(\small{ \ \sin t =\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \ }\)より
\(\small{ \ t=\displaystyle \frac{\pi}{3}, \ \displaystyle \frac{2}{3}\pi, \ \displaystyle \frac{7}{3}\pi, \ \displaystyle \frac{8}{3}\pi \ }\)
\(\small{ \ t=\displaystyle \frac{\theta+\displaystyle \frac{\pi}{3}}{2} \ }\)より
\(\small{ \ \theta=\displaystyle \frac{\pi}{3}, \ \displaystyle \frac{\pi}{2}, \ \displaystyle \frac{4}{3}\pi, \ \displaystyle \frac{3}{2}\pi \ }\)

(2)\(\small{ \ \tan\left(2\theta-\displaystyle \frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3} \ }\)
\(\small{ \ t=2\theta-\displaystyle \frac{\pi}{3} \ }\)とおくと
\(\small{ \ 0\leqq \theta \lt2\pi \ }\)より
\(\small{ \ -\displaystyle \frac{\pi}{3}\leqq t \lt 4\pi-\displaystyle \frac{\pi}{3} \ }\)
\(\small{ \ \tan t =\sqrt{3} \ }\)より
\(\small{ \ t=\displaystyle \frac{\pi}{3}, \ \displaystyle \frac{4}{3}\pi, \ \displaystyle \frac{7}{3}\pi, \ \displaystyle \frac{10}{3}\pi \ }\)
\(\small{ \ t=\displaystyle \frac{\theta+\displaystyle \frac{\pi}{3}}{2} \ }\)より
\(\small{ \ \theta=\displaystyle \frac{\pi}{3}, \ \displaystyle \frac{5}{6}\pi, \ \displaystyle \frac{4}{3}\pi, \ \displaystyle \frac{11}{6}\pi \ }\)

(1)\(\small{ \ \sin\left(2\theta-\displaystyle \frac{\pi}{3}\right)=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \ }\)
\(\small{ \ 2\theta-\displaystyle \frac{\pi}{3}=\displaystyle \frac{\pi}{3}+2n\pi, \ \displaystyle \frac{2}{3}\pi+2n\pi \ }\)
\(\small{ \ 2\theta=\displaystyle \frac{2}{3}\pi+2n\pi, \ \pi+2n\pi \ }\)
\(\small{ \ \therefore \theta=\displaystyle \frac{\pi}{3}+n\pi, \ \displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi \ }\)
\(\small{ \ 0\leqq \theta \lt2\pi \ }\)より、これを満たす\(\small{ \ \theta \ }\)は
\(\small{ \ \theta=\displaystyle \frac{\pi}{3}, \ \displaystyle \frac{\pi}{2}, \ \displaystyle \frac{4}{3}\pi, \ \displaystyle \frac{3}{2}\pi \ }\)

(2)\(\small{ \ \tan\left(2\theta-\displaystyle \frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3} \ }\)
\(\small{ \ 2\theta-\displaystyle \frac{\pi}{3}=\displaystyle \frac{\pi}{3}+n\pi \ }\)
\(\small{ \ 2\theta=\displaystyle \frac{2}{3}\pi+n\pi \ }\)
\(\small{ \ \therefore \theta=\displaystyle \frac{\pi}{3}+\displaystyle \frac{n\pi}{2} \ }\)
\(\small{ \ 0\leqq \theta \lt2\pi \ }\)より、これを満たす\(\small{ \ \theta \ }\)は
\(\small{ \ \theta=\displaystyle \frac{\pi}{3}, \ \displaystyle \frac{5}{6}\pi, \ \displaystyle \frac{4}{3}\pi, \ \displaystyle \frac{11}{6}\pi \ }\)

point
\(\small{ \ \sin \ }\)の周期は\(\small{ \ 2\pi \ }\)、\(\small{ \ \tan \ }\)の周期は\(\small{ \ n\pi \ }\)だから、\(\small{ \ \sin \ }\)や\(\small{ \ \tan \ }\)を外した\(\small{ \ \theta \ }\)の一次式に周期の\(\small{ \ n \ }\)倍が足されてるからね。

Point 三角方程式の解き方

①有名角の三角関数の値を確実に覚える
②置換するときは範囲も置換する
③一般解は周期の\(\small{ \ n \ }\)倍を加える

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