こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は差を利用する数列の和の求め方について学習していこう。
差を利用する数列の和
差を利用する数列で1番よく出てくるのは部分分数分解を利用した数列の和になる。まずはそれからチェックしてほしい。
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分数の数列の和
部分分数分解を利用した数列の和について詳しく解説しています。
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今回はもう少し難易度が上がった数列の和を学習するけど、部分分数分解を利用する問題と同じで、一般項を差を利用する形に変形することが大切なんだ。
差を利用する形\(\small{ \ f(n+1)-f(n) \ }\)にうまく変形して、前後の項で消し合って和を求めよう。
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \left\{f(k+1)-f(k)\right\} \ }\)
\(\small{ \ =f(n+1)-f(1) \ }\)
根号で表された数列の和
まずは一般項が根号を含む\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}} \ }\)の形について学習していこう。
このタイプは根号を有理化して差の形を作り出そう。
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}} \ }\)は\(\small{ \ \displaystyle \frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}} \ }\)をかけて\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}}=\displaystyle \frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{a_{n+1}-a_n} \ }\)になる。
\(\small{ \ a_n \ }\)が公差\(\small{ \ d \ }\)の等差数列なら\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}}=\displaystyle \frac{1}{d}\left(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}\right) \ }\)になるから、\(\small{ \ f(n+1)-f(n) \ }\)の形が作れたよね。
それじゃこの方法を利用した問題を確認してみよう。
次の和を求めなさい。
求める値と\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)とすると
\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3n-1}+\sqrt{3n+2}}}\)
\(\small{=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \displaystyle \frac{\sqrt{3n+2}-\sqrt{3n-1}}{3}}\)
\(\small{=\displaystyle \frac{1}{3}\left(\sqrt{3n+2}-\sqrt{2}\right) \ }\)
階乗を含む数列の和
次は一般項が階乗の式を含む\(\small{ \ \displaystyle \frac{n}{(n+1)!} \ }\)の形について学習していこう。
このタイプは階乗の式をうまく分解して差の形を作り出そう。
階乗の式は\(\small{ \ (n+1)!=(n+1)\cdot n! \ }\)に変形できることに注意すると
\(\small{ \ \displaystyle \frac{n}{(n+1)!}=\displaystyle \frac{n+1-1}{(n+1)!}=\displaystyle \frac{1}{n!}-\displaystyle \frac{1}{(n+1)!} \ }\)と変形できるから、これも\(\small{ \ f(n+1)-f(n) \ }\)の形に変形できるよね。
それじゃこの方法を利用した問題を確認してみよう。
次の和を求めなさい。
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{2!}+\displaystyle \frac{2}{3!}+\displaystyle \frac{3}{4!}+\cdots+\displaystyle \frac{n}{(n+1)!} \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \frac{1}{2!}+\displaystyle \frac{2}{3!}+\displaystyle \frac{3}{4!}+\cdots+\displaystyle \frac{n}{(n+1)!} \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \displaystyle \frac{k}{(k+1)!} \ }\)
\(\small{ \ =\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \left\{\displaystyle \frac{1}{k!}-\displaystyle \frac{1}{(k+1)!}\right\} \ }\)
\(\small{ \ =1-\displaystyle \frac{1}{(n+1)!} \ }\)
Point 差を利用する数列の和の求め方
①\(\small{ \ f(n+1)-f(n) \ }\)を作り出す形を覚えておこう
