接線の方程式

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は接線の方程式について学習していこう。

スポンサードリンク

接線の方程式は接点が重要

接線の方程式は接点がわかれば求めることができる。
だから接線の方程式の問題は接点を求める問題と認識しておこう。

つまり、接点の座標を\(\small{ \ t \ }\)とおいて\(\small{ \ t \ }\)を求める問題ってことになるからね。前回学習した微分係数は接線の傾きを表すから、\(\small{ \ y=f(x) \ }\)上の点\(\small{ \ (t, \ f(t)) \ }\)における接線の傾きは\(\small{ \ x=t \ }\)における微分係数で\(\small{ \ f'(t) \ }\)になるから微分して微分係数を求めよう。

接線の方程式

\(\small{ \ y=f(x) \ }\)上の
点\(\small{ \ (t, \ f(t)) \ }\)における接線の方程式
 \(\small{ \ y=f'(t)(x-t)+f(t) \ }\)

接線の方程式-01
▼あわせてCHECK▼(別ウィンドウで開きます)

曲線上の点における接線の方程式

傾き\(\small{ \ m \ }\)で\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)を通る直線の方程式は\(\small{ \ y=m(x-a)+b \ }\)と書ける

これを曲線\(\small{ \ y=f(x) \ }\)上の点\(\small{ \ (t, \ f(t)) \ }\)における接線に利用してみると、傾き\(\small{ \ f'(t) \ }\)で\(\small{ \ (t, \ f(t)) \ }\)を通る直線の方程式は\(\small{ \ y=f'(t)(x-t)+f(t) \ }\)ってなるよね。

この式を\(\small{ \ (t, \ f(t)) \ }\)における接線の方程式としてきちんと覚えておこう。

曲線上にない点から引く接線の方程式

曲線\(\small{ \ y=f(x) \ }\)上にない点\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)から引く接線の方程式を求める場合、接点の座標を\(\small{ \ (t, \ f(t)) \ }\)とおいて、この接点の座標を求めて接線の方程式を導こう。

接線の方程式を\(\small{ \ y=f'(t)(x-t)+f(t) \ }\)とすると、これを曲線上にない与えられた点\(\small{ \ (a, \ b) \ }\)が通るから代入して、\(\small{ \ t \ }\)の方程式\(\small{ \ b=f'(t)(a-t)+f(t) \ }\)を作ることができる。

この\(\small{ \ t \ }\)の方程式を解くことで、接点の\(\small{ \ x \ }\)座標を求めることができるんだ。
求めた接点の座標を接線の方程式に代入すると接線の方程式が求まるよね。

また、問題によっては曲線上の点が与えられる場合もある。曲線上の点だと安易に接点って思いがちだけど、曲線上の点から接線を引くこともできるから、接点と言われていない限りその点は接点じゃないかもしれないから注意して問題を解こう。

例題を確認
問題解答

(1)曲線\(\small{ \ y=x^3-5x \ }\)上の点\(\small{ \ (-1,4) \ }\) における接線の方程式を求めよ。
(2)曲線\(\small{ \ y=x^3-5x \ }\)の接線の傾きが\(\small{ \ 7 \ }\)である接線の方程式を求めよ。
(3)点\(\small{ \ (3,1) \ }\)から曲線\(\small{ \ y=x^3-2x^2+1 \ }\)にひいた接線の方程式を求めよ。

(1)\(\small{ \ f(x)=x^3-5x \ }\)とすると求める方程式は
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&f'(-1)(x+1)+f(-1)\\
&=&-2(x+1)+4\\
&=&-2x+2 \ \end{eqnarray}}\)

(2)\(\small{ \ f'(t)=7 \ }\)となる\(\small{ \ t \ }\)を求めれば良いので、\(\small{ \ 3t^2-5=7 \ \therefore t=\pm2\ }\)
よって求める方程式は
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y=7(x-2)-2=7x-16\\
y=7(x+2)+2=7x+16
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

接線の方程式-02

(3)\(\small{ \ f(x)=x^3-2x^2+1 \ }\)とすると
\(\small{ \ (t,f(t)) \ }\)における接線の方程式は
\(\small{\begin{eqnarray} \ y&=&f'(t)(x-t)+f(t)\\
&=&(3t^2-4t)x-2t^3+2t^2+1 \ \end{eqnarray}}\)
これが\(\small{ \ (3,1) \ }\)を通るから
\(\small{ \ 1=3(3t^2-4t)-2t^3+2t^2+1 \ }\)
\(\small{ \ 2t^3-11t^2+12t=0 \ }\)
\(\small{ \ t(2t-3)(t-4)=0 \ }\)
\(\small{ \ t=0, \ \displaystyle \frac{3}{2}, \ 4 }\)
よって求める接線の方程式は
\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y=1\\
y=\displaystyle \frac{3}{4}x-\displaystyle \frac{5}{4}\\
y=32x-95
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

接線の方程式-03

point
曲線上にない点から接線を引くと点の位置によって引くことのできる接線の本数は変わってくる。接点の数だけ接線もあるから、高校数学では接線が何本ひけるかは接点が何個あるかに置き換えて考えて大丈夫だからね。

Point 接線の方程式

①接線の方程式は接点の座標から求まる
②微分係数\(\small{ \ f'(t) \ }\)が接線の傾き

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

曲線\(\small{ \ y=x^3 \ }\)の原点以外の点\(\small{ \ \mathrm{P} \ }\)における接線が\(\small{ \ x \ }\)軸と交わる点を\(\small{ \ \mathrm{Q} \ }\)、\(\small{ \ y \ }\)軸と交わる点を\(\small{ \ \mathrm{R} \ }\)、再び曲線\(\small{ \ y=x^3 \ }\)と交わる点を\(\small{ \ \mathrm{S} \ }\)とするとき、\(\small{ \ \mathrm{PQ} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{QR} \ }\)、\(\small{ \ \mathrm{RS} \ }\)の比を求めよ。

接点の\(\small{ \ x \ }\)座標を\(\small{ \ t \ }\)とすると、
接線の方程式は \(\small{ \ y=3t^2(x-t)-t^3=3t^2x-2t^3 \ }\)
よって\(\small{ \ x \ }\)軸との交点の\(\small{ \ x \ }\)座標は
\(\small{ \ 3t^2x-2t^3=0 \ }\)
\(\small{ \ t\neq 0 \ }\)より\(\small{ \ x=\displaystyle \frac{2}{3}t \ }\)
また接線が曲線と交わる点の\(\small{ \ x \ }\)座標は
\(\small{ \ x^3=3t^2x-2t^3 \ }\)
\(\small{ \ x^3-3t^2x+2t^3=0 \ }\)
\(\small{ \ (x-t)^2(x+2t)=0 \ }\)
よって\(\small{ \ x=-2t \ }\)
線分の長さの比は\(\small{ \ x \ }\)座標の差の比と等しいから
\(\small{ \ \mathrm{PQ}:\mathrm{QR}:\mathrm{RS} =\displaystyle \frac{1}{3}t:\displaystyle \frac{2}{3}t:2t\\
=1:2:6 \ }\)

接線の方程式-04

point
接線が曲線と交わる点を求めるとき接点の座標は解になる。しかも重解になるはずだから\(\small{ \ (x-t)^2 \ }\)で因数分解できるはずだよね。ってことは定数項に注意すると簡単に因数分解出来るからね。
また、線分比は一直線上なら線分の長さ求めなくても、\(\small{ \ x \ }\)座標の差で相似比を求めればいいよね。面倒な三平方とかしないようにしよう。

この記事が気に入ったら
いいね ! しよう

Twitter で

  微分法

  , ,