数列の和とΣの計算

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は数列の和と\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)の計算について学習していこう。

スポンサードリンク

数列の和とΣの計算

ここまで学習した等差数列や等比数列の和は、公式として覚えてきたけど、これからはすべての数列の和は\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)を利用して計算していこう。

もちろん等差数列や等比数列の和も\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)を利用して計算していくことになる。

ただ、等差数列や等比数列で\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)を利用する場合は一般項がきちんとわかってる場合に限られるから覚えておこう。

和の記号Σ

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k=a_1+a_2+\cdots+a_n \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) }\)
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^2=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^3=\left\{ \displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } r^k=\displaystyle \frac{r(r^n-1)}{r-1} \ }\)
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a=na \ }\)

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)の計算はこの公式をきちんと覚えないと何も始まらないから、きちんと覚えておこう。覚えてしまえばあとは計算するだけだからね。

和記号Σの意味と書き方

まずは\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)の意味と書き方をマスターしよう。

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k \ }\)は\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k=a_1+a_2+\cdots+a_n \ }\)を意味してるんだ。

これは\(\small{ \ \displaystyle \sum_{k=\mathrm{A}}^{\mathrm{B}}a_k \ }\)とすると\(\small{ \ a_k \ }\)の\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ \mathrm{A} \ }\)から\(\small{ \ \mathrm{B} \ }\)まで代入したものを加えるということなんだ。

だから\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 3 }^{ 5 } a_k \ }\)は\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ 3 \ }\)から\(\small{ \ 5 \ }\)まで代入したものを加えるから\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 3 }^{ 5 } a_k=a_3+a_4+a_5 \ }\)になるからね。

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)の後ろを\(\small{ \ a_k \ }\)ではなく\(\small{ \ a_n \ }\)としてしまうと\(\small{ \ k \ }\)に代入しないといけないのに\(\small{ \ k \ }\)がないってことになるから、一般項\(\small{ \ a_n \ }\)を求めてから和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)を計算するときは\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k \ }\)と一般項\(\small{ \ a_n \ }\)を\(\small{ \ a_k \ }\)に書き換えて\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)の後ろに書こう。

Σの利用はまず一般項を求めよう

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)の公式を利用しようと思っても、求めたい数列の和の一般項(\(\small{ \ n \ }\)番目の項)がわかっていないと利用できない。

だから数列の和を求めるときは、とにかく一般項を求めよう

Σの計算の応用

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)の公式はすべて初項から\(\small{ \ n \ }\)項目までの和になってるから初項から\(\small{ \ 20 \ }\)項目までの和は簡単に求まるけど、\(\small{ \ 10 \ }\)項目から\(\small{ \ 20 \ }\)項目までの和のような初項以外の項からの和を求める時は一工夫必要になるから注意しよう。

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)の公式は初項からの和だってことを考えると

\(\small{ \ a_{10}+a_{11}+\cdots+a_{20}=(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{20})-(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{9}) \ }\)

に変形することができるから
\(\small{ \ \displaystyle \sum_{k=10 }^{ 20 }a_k=\displaystyle \sum_{k=1 }^{ 20 }a_k-\displaystyle \sum_{k=1 }^{ 9 }a_k \ }\)になる。

だから初項以外の項から和を求めるときは、初項から末項までの和から、初項から最初の項より一つ前の項の和までを引いてあげよう。

例題を確認
問題解答

次の数列の一般項と初項から第\(\small{ \ n \ }\)項までの和を求めよ。
(1)\(\small{ \ 1\cdot1、2\cdot3、3\cdot5、4\cdot7、\cdots \ }\)
(2)\(\small{ \ 1、1+3、1+3+9、1+3+9+27、\cdots \ }\)

(1)左側の項は\(\small{ \ 1、2、3、\cdots \ }\)の初項\(\small{ \ 1 \ }\)公差\(\small{ \ 1 \ }\)の等差数列、右側の項は\(\small{ \ 1、3、5、\cdots \ }\)の初項\(\small{ \ 1 \ }\)公差\(\small{ \ 2 \ }\)の等差数列より求める一般項は\(\small{ \ a_n=n(2n-1) \ }\)
よって初項から第\(\small{ \ n \ }\)項までの和\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)は
\(\small{\begin{eqnarray} \ \mathrm{S}_n&=& \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k\\
&=& \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k(2k-1) \\
&=&2\cdot\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \\
&=&\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(4n-1) \end{eqnarray}}\)
(2)一般項\(\small{ \ a_n \ }\)は
\(\small{ \begin{eqnarray} a_n&=&1+3+9+\cdots+3^{n-1} \\
&=&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } 3^{k-1}=\displaystyle \frac{3^n-1}{2} \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ \begin{eqnarray}\mathrm{S}_n&=&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } \left(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 3^{k}-\displaystyle \frac{1}{2}\right) \\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\displaystyle \frac{3(3^n-1)}{2}-\displaystyle \frac{1}{2}n\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}(3^{n+1}-2n-3) \end{eqnarray}}\)

point
(1)の問題のように\(\small{ \ 1、6、15、28、\cdots \ }\)ではなく\(\small{ \ 1\cdot1、2\cdot3、3\cdot5、4\cdot7、\cdots \ }\)と積の形になっているのは(左側の数列)×(右側の数列)とすることによって、一般項を簡単に求めることができるからなんだ。

\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)を利用するときは必ず一般項を求めないといけないから、わざわざ展開などせずに問題文の題意を読み取って解いていこう。

Point 数列の和とΣの計算

①一般項を求め、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)の計算をしよう。
②\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_n \ }\)ではなく\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_k \ }\)と書こう。

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

(1)\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ }\)を示しなさい。
(2)\(\small{ \ (k+1)^3-k^3 \ }\)の展開を利用して、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^2=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \ }\)を示しなさい。
(3)\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^3=\left\{ \displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 \ }\)を示しなさい。
(4)\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^4 \ }\)を求めなさい。

(1)\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=1+2+\cdots+n \ }\)として、これを逆から書いた
\(\small{ \ \mathrm{S}_n=n+\cdots+2+1 \ }\)を加えるとどの項も\(\small{ \ n+1 \ }\)となるから
\(\small{ \ 2\mathrm{S}_n=n(n+1) \ }\)
\(\small{ \ \therefore \mathrm{S}_n=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ }\)

(2)\(\small{ \ (k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1 \ }\)
この式の\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ n \ }\)まで代入した式をそれぞれ加えると

\(\small{\begin{eqnarray}& &(n+1)^3&-&\hspace{ 10pt }n^3&=&3n^2&+&3n&+&1\\
& &\hspace{ 10pt }n^3&-&(n-1)^3&=&3(n-1)^2&+&3(n-1)&+&1\\
& &(n-1)^3&-&(n-2)^3&=&3(n-2)^2&+&3(n-2)&+&1\\
& & & & &\hspace{ 4pt }\vdots& & & & & \\
& &\hspace{ 10pt }3^3&-&\hspace{ 10pt }2^3&=&3\cdot2^2&+&3\cdot2&+&1\\
&+)&\hspace{ 10pt }2^3&-&\hspace{ 10pt }1^3&=&3\cdot1^2&+&3\cdot1&+&1\\
\hline
& &(n+1)^3&-&\hspace{ 10pt }1&=&3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2&+&3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k&+&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1 \end{eqnarray}\ }\)

(1)より\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ }\)、\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1=n \ }\)より
\(\small{ \ 3\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2=(n+1)^3-\displaystyle \frac{3}{2}n(n+1)-n-1\\
=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1) \ }\)
よって\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \ }\)

(3)(2)と同様に
\(\small{ \ (k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1 \ }\)
この式の\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ n \ }\)まで代入した式をそれぞれ加えると

\(\small{\begin{eqnarray}& &(n+1)^4&-&\hspace{ 10pt }n^4&=&4n^3&+&6n^2&+&4n&+&1\\
& &\hspace{ 10pt }n^4&-&(n-1)^4&=&4(n-1)^3&+&6(n-1)^2&+&4(n-1)&+&1\\
& &(n-1)^4&-&(n-2)^4&=&4(n-2)^3&+&6(n-2)^2&+&4(n-2)&+&1\\
& & & & &\hspace{ 4pt }\vdots& & & & & & & \\
& &\hspace{ 10pt }3^4&-&\hspace{ 10pt }2^4&=&4\cdot2^3&+&6\cdot2^2&+&4\cdot2&+&1\\
&+)&\hspace{ 10pt }2^4&-&\hspace{ 10pt }1^4&=&4\cdot2^3&+&6\cdot1^2&+&4\cdot1&+&1\\
\hline
& &(n+1)^4&-&\hspace{ 10pt }1&=&4\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3&+&6\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2&+&4\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k&+&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1\end{eqnarray}}\)

(1)(2)より

\(\small{ \ 4\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3=(n+1)^4-6\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2-4\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k-\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1-1
=n^2(n+1)^2 \ }\)

よって\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3=\left\{ \displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 \ }\)

(4)\(\small{ \ (k+1)^5-k^5=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1 \ }\)
この式の\(\small{ \ k \ }\)に\(\small{ \ 1 \ }\)から\(\small{ \ n \ }\)まで代入した式をそれぞれ加えると

\(\small{\begin{eqnarray}& &(n+1)^5&-&\hspace{ 10pt }n^5&=&5n^4&+&10n^3&+&10n^2&+&5n&+&1\\
& &\hspace{ 10pt }n^5&-&(n-1)^5&=&5(n-1)^4&+&10(n-1)^3&+&10(n-1)^2&+&5(n-1)&+&1\\
& &(n-1)^5&-&(n-2)^5&=&5(n-2)^4&+&10(n-2)^3&+&10(n-2)^2&+&5(n-2)&+&1\\
& & & & &\hspace{ 4pt }\vdots& & && & & & & & \\
& &\hspace{ 10pt }3^5&-&\hspace{ 10pt }2^5&=&5\cdot2^4&+&10\cdot2^3&+&10\cdot2^2&+&5\cdot2&+&1\\
&+)&\hspace{ 10pt }2^4&-&\hspace{ 10pt }1^4&=&5\cdot1^4&+&10\cdot1^3&+&10\cdot1^2&+&5\cdot1&+&1\\
\hline
& &(n+1)^4&-&\hspace{ 10pt }1&=&5\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^4&+&10\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3&+&10\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2&+&5\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k&+&\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1\end{eqnarray}}\)

(1)(2)(3)より

\(\small{ \ 5\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^4=(n+1)^5-10\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^3-10\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^2-5\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k-\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }1-1\ }\)

\(\small{ \ =\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \ }\)
よって\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n }k^4=\displaystyle \frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \ }\)

point
この問題は\(\small{ \ \displaystyle \sum_{ }^{ } \ }\)の公式の証明の問題になる。この解法は知識としてきちんと覚えておこう。

この記事が気に入ったら
いいね ! しよう

Twitter で

  数列

  , ,