シンプソンの公式

数学Ⅱ 定積分

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回はシンプソンの公式の証明について学習していこう。

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シンプソンの公式

シンプソンの公式
\(\small{ \ \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle\frac{b-a}{6}\left\{f(a)+4f\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right\} \ }\)

シンプソンの公式-01
\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle\frac{h}{3}(y_0+4y_1+y_2) \ }\)
ただし\(\small{ \ h=\displaystyle\frac{x_2-x_0}{2} \ }\)
シンプソンの公式-02

シンプソンの公式とは

シンプソンの公式とは

シンプソンの公式(シンプソンのこうしき、Simpson's rule) とは、数値解析の分野において、\(\small{ \ \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx \ }\)の近似値を得る方法である。

上にもあるように近似値を得る方法だから本当は誤差が生じることになるんだけど、三次以下の多項式関数なら誤差なしで成り立つことが言えるんだ。

シンプソンの公式の証明

\(\small{ \ f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D \ }\)とする。

\(\small{ \ \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx\\
=\displaystyle\int_{a}^{b}(Ax^3+Bx^2+Cx+D)dx\\
=\left[\displaystyle \frac{1}{4}Ax^4+\displaystyle \frac{1}{3}Bx^3+\displaystyle \frac{1}{2}Cx+dx\right]_{a}^{b}\\
=\displaystyle \frac{1}{12}\left[3Ax^4+4Bx^3+6Cx+12Dx\right]_{a}^{b}\\
=\displaystyle \frac{1}{12}\left\{3A\left(b^4-a^4\right)+4B\left(b^3-a^3\right)+6C\left(b^2-a^2\right)+12D\left(b-a\right)\right\}\\
=\displaystyle \frac{b-a}{12}\left\{3A\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)+4B\left(a^2+ab+b^2\right)+6C\left(a+b\right)+12D\right\}\\
=\displaystyle \frac{b-a}{6}\left\{\displaystyle \frac{3}{2}A\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)+2B\left(a^2+ab+b^2\right)+3C\left(a+b\right)+6D\right\} \ }\)

\(\small{ \ f(a)=Aa^3+Ba^2+Ca+D \ }\)
\(\small{ \ f(b)=Ab^3+Bb^2+Cb+D \ }\)

\(\small{ \ f\left(\displaystyle \frac{a+b}{2}\right)=A\left(\displaystyle \frac{a+b}{2}\right)^3+B\left(\displaystyle \frac{a+b}{2}\right)^2+C\left(\displaystyle \frac{a+b}{2}\right)+D \ }\)

\(\small{ \ 4f\left(\displaystyle \frac{a+b}{2}\right)=A\cdot\displaystyle \frac{(a+b)^3}{2}+B(a+b)^2+2C(a+b)+4D \ }\)

\(\small{ \ f(a)+4f\left(\displaystyle \frac{a+b}{2}\right)+f(b)\\
=A\left\{a^3+b^3+\displaystyle\frac{1}{2}(a+b)^2\right\}+B\left\{a^2+b^2+(a+b)^2\right\}+C\left\{a+b+2(a+b)\right\}+6D\\
=\displaystyle\frac{3}{2}A(a^3+b^3+a^2b+ab^2)+2B\left(a^2+ab+b^2\right)+3C\left(a+b\right)+6D\\
=\displaystyle\frac{3}{2}A(a+b)(a^2+b^2)+2B\left(a^2+ab+b^2\right)+3C\left(a+b\right)+6D}\)

\(\small{ \ \therefore \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle\frac{b-a}{6}\left\{f(a)+4f\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right\} \ }\)

point
特に三次関数の定積分を計算するとき、\(\small{ \ a, \ b \ }\)の偶奇が一致していると計算が非常に楽になるから検算用に覚えておくといいからね。

またこの式の文字を変換した
\(\small{ \ \mathrm{S}=\displaystyle\frac{h}{3}(y_0+4y_1+y_2) \ }\)
(ただし\(\small{ \ h=\displaystyle\frac{x_2-x_0}{2} \ }\))
も参考書等に取り上げられているけど、同じ意味になるからね。

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