数学的帰納法による不等式の証明

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は数学的帰納法による不等式の証明について学習して行こう。

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数学的帰納法による不等式の証明

不等式の証明は前回学習した数学的帰納法による等式の証明に比べると難しくなる。だから証明方法をしっかりとマスターしておこう。

数学的帰納法

(i)\(\small{ \ n=n_0 \ }\)のとき成り立つことを証明
(ii)\(\small{ \ n=k \ }\)のとき成り立つことを仮定
仮定を利用して\(\small{ \ n=k+1 \ }\)が成り立つことを証明
(i)(ii)より\(\small{ \ n\geqq n_0 \ }\)で命題が成り立つ

数学的帰納法による不等式の証明の解き方

(左辺\(\small{ \ n \ }\))\(\small{ \ = \ }\)(右辺\(\small{ \ n \ }\))の不等式の証明は、次の❶〜❺の順に証明していこう。

等式の証明の場合と違い、❹の比較して証明する部分が一番重要になるからね。
つまり(左辺\(\small{ \ n=k+1 \ }\))と(右辺\(\small{ \ n=k+1 \ }\))を比較するんじゃなくて、(右辺\(\small{ \ n=k \ }\))\(\small{ \ + \ }\)(\(\small{ \ \ast\ast\ast\ast\ast \ }\))と(右辺\(\small{ \ n=k+1 \ }\))を比較して証明するんだ。

左辺と右辺が計算できる式なら
数学的帰納法を利用せずに(左辺)\(\small{-}\)(右辺)\(\small{=f(n) \ }\)として、最小値や最大値を求めるよね。

でも、左辺と右辺の式の形が全然違う場合、計算することができない。
だから数学的帰納法を利用するんだ。数学的帰納法を利用することで、右辺同士を比較することにるから、右辺同士であれば計算することが可能なんだ。

不等式の証明方法手順
(左辺\(\small{ \ n \ }\))\(\small{ \ \gt \ }\)(右辺\(\small{ \ n \ }\))の場合
❶\(\small{ \ n=1 \ }\)のときを証明する
(i)\(\small{ \ n=1 \ }\)のとき
(左辺\(\small{ \ n=1 \ }\))\(\small{=}\)[    ]
(右辺\(\small{ \ n=1 \ }\))\(\small{=}\)[    ]
\(\small{ \ \therefore \ }\)(左辺\(\small{ \ n=1 \ }\))\(\small{ \ \gt \ }\)(右辺\(\small{ \ n=1 \ }\))
❷\(\small{ \ n=k \ }\)のとき命題が成り立つと仮定する
(ii)\(\small{ \ n=k \ }\)のとき
(左辺\(\small{ \ n=k \ }\))\(\small{ \ \gt \ }\)(右辺\(\small{ \ n=k \ })\cdots\)①が成り立つと仮定する。
❸左辺が\(\small{ \ n=k+1 \ }\)の形になるように、両辺に\(\small{ \ \ast\ast\ast\ast\ast \ }\)する
①の両辺に\(\small{ \ \ast\ast\ast\ast\ast \ }\)すると、
(左辺\(\small{ \ n=k+1 \ }\))\(\small{ \ \gt \ }\)(右辺\(\small{ \ n=k \ }\))\(\small{ \ + \ }\)(\(\small{ \ \ast\ast\ast\ast\ast \ }\))
❹(右辺\(\small{ \ n=k \ }\))\(\small{ \ + \ }\)(\(\small{ \ \ast\ast\ast\ast\ast \ }\))\(\small{ \ \gt \ }\)(右辺\(\small{ \ n=k+1 \ }\))を証明する
ここで(右辺\(\small{ \ n=k \ }\))\(\small{ \ + \ }\)(\(\small{ \ \ast\ast\ast\ast\ast \ }\))\(\small{ \ - \ }\)(右辺\(\small{ \ n=k+1 \ }\))
=[]\(\small{ \ \gt \ }\)\(\small{ \ 0 \ }\)
(左辺\(\small{ \ n=k+1 \ }\))\(\small{ \ \gt \ }\)(右辺\(\small{ \ n=k+1 \ }\))
よって\(\small{ \ n=k+1 \ }\)のときも成り立つ。
❺まとめ
よって(i)(ii)よりすべての自然数で与式は成り立つ。

上記の証明方法の手順では、両辺に\(\small{ \ \ast\ast\ast\ast\ast \ }\)して
(左辺\(\small{ \ n=k+1 \ }\))\(\small{ \ \gt \ }\)(右辺\(\small{ \ n=k \ }\))\(\small{ \ + \ }\)(\(\small{ \ \ast\ast\ast\ast\ast \ }\))\(\small{ \ \gt \ }\)(右辺\(\small{ \ n=k+1 \ }\))
と証明した。

でも、問題文の不等号の向きが逆だと両辺に\(\small{ \ \ast\ast\ast\ast\ast \ }\)して
(左辺\(\small{ \ n=k+1 \ }\))\(\small{ \ \lt \ }\)(右辺\(\small{ \ n=k \ }\))+(\(\small{ \ \ast\ast\ast\ast\ast \ }\))\(\small{ \ \lt \ }\)(右辺\(\small{ \ n=k+1 \ }\))
を証明しないといけないよね

つまり(右辺\(\small{ \ n=k \ }\))\(\small{ \ + \ }\)(\(\small{ \ \ast\ast\ast\ast\ast \ }\))-(右辺\(\small{ \ n=k+1 \ }\))が負になることを証明すればいい。

数学的帰納法で不等式の証明

定期試験の場合は試験範囲が決まってるよね。だから数学的帰納法で証明すればいいとわかる。

でも、入試問題や実力試験で出題される不等式の証明は、(左辺)\(\small{ \ - \ }\)(右辺)を計算する問題や相加平均相乗平均の関係を使う問題が多い。

問題文に自然数\(\small{ \ n \ }\)が含まれている不等式の証明の場合は、数学的帰納法を利用するかもしれないと考えよう。

例題を確認
問題解答

\(\small{ \ n \ }\)は自然数とする。次の不等式を証明せよ。

\(\small{ \ 1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\lt 2\sqrt{n} \ }\)

数学的帰納法を用いて

\(\small{ \ 1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\lt 2\sqrt{n} \ }\)

を証明する
(i)\(\small{ \ n=1 \ }\)のとき
左辺\(\small{ \ =1 \ }\)
右辺\(\small{ \ =2 \ }\)
よって左辺\(\small{ \ \lt \ }\)右辺
(ii)\(\small{ \ n=k \ }\)のとき

\(\small{ \ 1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}\lt 2\sqrt{k}\cdots① \ }\)

が成り立つと仮定する
\(\small{①}\)の両辺に\(\small{ \ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{k+1}} \ }\)を加えると

\(\small{ \ 1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k+1}}\lt 2\sqrt{k}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k+1}} \ }\)

\(\small{ \ 2\sqrt{k+1}-\left(2\sqrt{k}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\\
=\displaystyle\frac{2k+1-2\sqrt{k(k+1)}}{\sqrt{k+1}} \ }\)
ここで\(\small{ \ (2k+1)^2-(2\sqrt{k(k+1)})^2=1\gt 0 \ }\)より
\(\small{ \ \displaystyle\frac{2k+1-2\sqrt{k(k+1)}}{\sqrt{k+1}}\gt 0 \ }\)
\(\small{ \ \therefore 2\sqrt{k}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k+1}} \lt 2\sqrt{k+1} \ }\)
よって

\(\small{ \ 1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k+1}}\lt 2\sqrt{k+1} \ }\)

つまり\(\small{ \ n=k+1 \ }\)のときも成り立つ
(i)(ii)よりすべての自然数\(\small{ \ n \ }\)で

\(\small{ \ 1+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\lt 2\sqrt{n} \ }\)

は成り立つ

point
数学的帰納法による等式の証明と同じで、まずは「\(\small{ \ \cdots \ }\)」がある方の辺を\(\small{ \ n=k+1 \ }\)の形になるように両辺に何かを加えたりしよう。
\(\small{ \ n=k+1 \ }\)と\(\small{ \ n=k \ }\)の形を比較することで、何をすれば良いか調べよう。

Point

①\(\small{ \ n=k \ }\)のときと\(\small{ \ n=k+1 \ }\)のときを比較して加える作業を確認する
②不等号の向きに注意して(右辺\(\small{ \ n=k \ }\))\(\small{ \ + \ }\)(\(\small{ \ \ast\ast\ast\ast\ast \ }\))と(右辺\(\small{ \ n=k+1 \ }\))の大小を比較する

次は入試レベルの問題にチャレンジしてみましょう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

次の不等式を証明せよ。ただし、\(\small{ \ n \ }\)は\(\small{ \ 2 \ }\)以上の自然数とする。
\(\small{ \ a_k \ }\)は実数で、\(\small{ \ |a_k|\lt 1 \ (k=1, \ 2, \ 3,\cdots, \ n) \ }\)のとき

\(\small{ \ a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \cdots a_n+(n-1) \gt a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n \ }\)

数学的帰納法を用いて

\(\small{ \ a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \cdots a_n+(n-1) \gt a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n \ }\)

を証明する。
(i)\(\small{ \ n=2 \ }\)のとき
(左辺)\(\small{ \ - \ }\)(右辺)
\(\small{ \ =a_1\cdot a_2+1-a_1-a_2}\)
\(\small{ \ =(a_1-1)(a_2-1) \gt 0 \ }\)
よって(左辺)\(\small{ \ \gt \ }\)(右辺)
(ii)\(\small{ \ n=k \ }\)のとき

\(\small{ \ a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \cdots a_k+(k-1) \gt a_1+a_2+a_3+\cdots +a_k \ }\)

が成り立つと仮定する。
両辺に\(\small{ \ a_{k+1} \ }\)を加えると

\(\small{ \ a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \cdots a_k+(k-1)+a_{k+1} \gt a_1+a_2+a_3+\cdots +a_k+a_{k+1} \ }\)

ここで

\(\small{ \ a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \cdots a_k\cdot a_{k+1}+k -\left\{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \cdots a_k+(k-1)+a_{k+1}\right\} \ }\)
\(\small{ \ =a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \cdots a_k(a_{k+1}-1)+1-a_{k+1} \ }\)
\(\small{ \ =(a_{k+1}-1)(a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \cdots a_k-1) \gt 0\ }\)\(\small{ \ (\because |a_k|\lt 1) \ }\)
\(\small{ \ \therefore a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \cdots a_k+a_{k+1}+k \gt a_1+a_2+a_3+\cdots +a_k+a_{k+1} \ }\)

よって\(\small{ \ n=k+1 \ }\)のときも成り立つ
(i)(ii)より\(\small{ \ 2 \ }\)以上の自然数\(\small{ \ n \ }\)で

\(\small{ \ a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \cdots a_n+(n-1) \gt a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n \ }\)

は成り立つ

point
この問題は、左辺にも右辺にも「\(\small{ \ \cdots \ }\)」があるよね。でも、\(\small{ \ n=k \ }\)を\(\small{ \ n=k+1 \ }\)にするには、右辺の式の方を変形した方が簡単だよね。
だから右辺が\(\small{ \ n=k+1 \ }\)の形になるように、両辺に\(\small{ \ a_{k+1} \ }\)を加えてるからね。

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