数列の和と一般項の関係

重要度 難易度

こんにちは、リンス(@Lins016)です。
今回は数列の和から一般項を求める方法について学習していこう。

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和と一般項の関係

\(\small{ \ \mathrm{S}_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \ }\)とすると
\(\small{\begin{eqnarray}\mathrm{S}_n&=&a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}&+&a_n \ \\
-)\quad\mathrm{S}_{n-1}&=&a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}& &\\
\hline
\mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1}&=& & &a_n \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ a_n=\mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1} \ }\)になるよね。でも\(\small{ \ \mathrm{S}_{n-1} \ }\)に\(\small{ \ n=1 \ }\)を代入すると\(\small{ \ \mathrm{S}_0 \ }\)ってなるからおかしいことに気付く。つまり\(\small{ \ a_n=\mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1} \ }\)は\(\small{ \ n \geqq2 \ }\)のときしか成り立たない。じゃあ\(\small{ \ n=1 \ }\)のときはどうなるかっていうと、当たり前だけど\(\small{ \ \mathrm{S}_1=a_1 \ }\)になるよね。

和と一般項の関係式

\(\small{ \ n \geqq2 \ }\)のとき \(\small{ \ a_n=\mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1} \ }\)
\(\small{ \ n=1 \ }\)のとき\(\small{ \ \mathrm{S}_1=a_1 \ }\)

問題によっては\(\small{ \ n \geqq2 \ }\)のとき求めた\(\small{ \ a_n \ }\)が\(\small{ \ n=1 \ }\)を満たす場合もあるし、そうでない場合もあるから必ず\(\small{ \ n=1 \ }\)のときと\(\small{ \ n \geqq2 \ }\)のときで場合分けしよう。

計算に注意しよう

一般項を求めるのは単純に計算していくだけなんだけど、\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)が多項式になると、計算量も増えて+、ーの符号を書き違えたりすることも多くなるから、きちんと括弧、中括弧を利用して計算していくようにしよう。

例題を確認
問題解答

初項から第\(\small{ \ n \ }\)項までの和が次の式で与えられる数列の一般項を求めよ。
(1)\(\small{ \ \mathrm{S}_n=n^2+2n \ }\)
(2)\(\small{ \ \mathrm{S}_n=n^2+2n+2 \ }\)
(3)\(\small{ \ \mathrm{S}_n=3^n-2 \ }\)

(1)\(\small{ \ n \geqq2 \ }\)のとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ a_n&=&n^2+2n-\left\{(n-1)^2+2(n-1)\right\} \\
&=&2n+1\cdots① \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ n=1 \ }\)のとき\(\small{ \ a_1=\mathrm{S}_1=3 \ }\) より\(\small{ \ ① \ }\)を満たす。
よって\(\small{ \ a_n=2n+1 \ }\)
(2)\(\small{ \ n \geqq2 \ }\)のとき

\(\small{\begin{eqnarray} \ a_n&=&n^2+2n+2-\left\{(n-1)^2+2(n-1)+2\right\} \\
&=&2n+1\cdots① \ \end{eqnarray}}\)

\(\small{ \ n=1 \ }\)のとき\(\small{ \ a_1=\mathrm{S}_1=5 \ }\) より\(\small{ \ ① \ }\)を満たさない。
よって \(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_1=5\\
a_n=2n+1 \ (n \geqq2)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)
(3)\(\small{ \ n \geqq2 \ }\)のとき
\(\small{\begin{eqnarray} \ a_n&=&3^n-2-\left(3^{n-1}-2\right) \\
&=&3^n-3^{n-1}=2\cdot3^{n-1}\cdots① \ \end{eqnarray}}\)
\(\small{ \ n=1 \ }\)のとき\(\small{ \ a_1=\mathrm{S}_1=1 \ }\) より\(\small{ \ ① \ }\)を満たさない。
よって\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_1=1\\
a_n=2\cdot3^{n-1} \ (n \geqq2)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

point
一般項が等差数列\(\small{ \ pn+q \ }\)の場合、和は\(\small{ \ sn^2+tn \ }\)のような定数項が\(\small{ \ 0 \ }\)の\(\small{ \ n \ }\)の2次式になる。(1)のように定数項が\(\small{ \ 0 \ }\)の場合は等差数列になるけど、(2)のように定数項が\(\small{ \ 0 \ }\)じゃない場合は、\(\small{ \ n=1 \ }\)が\(\small{ \ n\geqq2 \ }\)で求めた一般項を満たさないから覚えておこう。
また\(\small{ \ r^n \ }\)の等比数列のタイプは\(\small{ \ \mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1} \ }\)が\(\small{ \ ar^n-ar^{n-1} \ }\)のような形になる。この場合これで終わりじゃなく、指数の小さい数でくくり出すことを忘れないでおこう。等比数列の形になるからね。

Point

①\(\small{ \ a_n=\mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1} \ }\)を計算
②\(\small{ \ n=1 \ }\)のとき\(\small{ \ \mathrm{S}_1=a_1 \ }\)は別で確認

それじゃあ次は入試レベルの問題にチャレンジしてみよう。
入試レベルにチャレンジ
問題解答

数列\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)の初項\(\small{ \ a_1=2 \ }\)で、第\(\small{ \ 3 \ }\)項\(\small{ \ a_3=-\displaystyle \frac{1}{2} \ }\)である。\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } (-1)^{k-1}a_k(n=1、2、3、\cdots) \ }\)とするとき数列\(\small{ \ \{\mathrm{S}_n\} \ }\)は等比数列になった。このとき次の問いに答えよ。
(1)\(\small{ \ \mathrm{S}_n \ }\)を\(\small{ \ n \ }\)の式で表せ。
(2)数列\(\small{ \ \{a_n\} \ }\)の第\(\small{ \ n \ }\)項\(\small{ \ a_n \ }\)を求めよ。

\(\small{ \ \{\mathrm{S}_n\} \ }\)は等比数列で初項\(\small{ \ \mathrm{S}_1=a_1=2 \ }\)、公比\(\small{ \ r \ }\)とすると
\(\small{ \ \mathrm{S}_2=a_1-a_2=2r \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{S}_3=a_1-a_2+a_3=2r^2 \ }\)
\(\small{ \ \mathrm{S}_3-\mathrm{S}_2=a_3=-\displaystyle \frac{1}{2}\ }\)より
\(\small{ \ 2r^2-2r=-\displaystyle \frac{1}{2} \ }\)
\(\small{ \ (2r-1)^2=0 \ \therefore r= \displaystyle \frac{1}{2}\ }\)
よって\(\small{ \ \mathrm{S}_n=\displaystyle \frac{1}{2^{n-2}} \ }\)
(2)(1)より\(\small{ \ n \geqq2 \ }\)のとき

\(\small{ \ (-1)^{n-1}a_n=\mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1}=\displaystyle \frac{1}{2^{n-2}}-\displaystyle \frac{1}{2^{n-3}}=-\displaystyle \frac{1}{2^{n-2}} \ }\)

\(\small{ \ a_n=\displaystyle \frac{(-1)^n}{2^{n-2}}\cdots① \ }\)
\(\small{ \ n=1 \ }\)のとき\(\small{ \ \mathrm{S}_1=a_1=2 \ }\)より\(\small{ \ ① \ }\)を満たさない。
よって\(\small{\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_1=2\\
a_n=a_n=\displaystyle \frac{(-1)^n}{2^{n-2}}\ (n \geqq2)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} \ }\)

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